Условная вероятность.

Теорема сложения вероятности для совместных случайных событий.

(диаграмма Венна: A = m₁; B = m₂; A ∩ B = l).

События A и B называются независимыми, если результат выполнения события A не связан с результатом события B. (извлечение двух чёрных шаров из разных урн – неза-висимые события)

• Теорема умножения вероятности для двух независимых событий:

Если A и B независимы, то P (AB) = P (A) ∗ P (B)

Пример 1:Какова вероятность при двух бросках монеты оба раза выпадет орёл?

Пример 2:В колоде52карты, 4масти, 2козыря.Какова вероятность того,что взятая на-угад карта 2 является тузом или козырем?

A{туз} P (A) = 1/13;

B{козырь} P (B) = 1/4;

P (AB) = 1/52;

A и B совместны,независимы.

P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB) = 1/13 + 1/4 − 1/52 = 4/13.

Рассмотрим пример:В урнеMчёрных шаров иN−Mбелых.Случайное событиеA {извлечение чёрного шара}и

B {извлечение чёрного шара из той-же урны после того,как из неё уже вынут один шаp}

(m − 1)

P (B|A) =

(n − 1)

Поскольку, если событие A имело место, то в урне осталось M − 1 чёрных шаров.

^¯ первый вынутый шар - белый

A : { }

Вероятность события B здесь разная. Вероятность, которую имеет событие B в том, слу-чае, когда известно, что событие A имело место называется условной вероятностью со-бытия B при условии выполнения события A.

P (B/A) = P (B|A) = P_A(B)

Условные вероятности можно вычислять аналогично вычислению безусловных вероят-ностей.

В случае если A и B независимы, P (A|B) = P (A) ∗ P (B).

В случае зависимости P (AB) = P (A) ∗ P (B|A) = P (B) ∗ P (A|B).

В обоих случаях мы имеем правило умножения вероятностей. В одном случае для неза-висимых событий, в другом для зависимых. Последнее соотношение часто кладут в опре-деление условной вероятности.

Из предыдущей формулы можем составить пропорцию:

P (B|A)₌ P (A|B)

P (B) P (A)

Из определения условной вероятности вытекают ее основные свойства:

1. 0 6 P (B|A) 6 1, причём P (B|A) = 1 когда A ⊂ B; B - достоверное случайное событие.

P (B|A) = 0 ⇐⇒ A; B несовместны,или известно,что B –невозможное событие.2. Пусть B₁ ⊂ B (появление B₁ вызывает событие B). P (B1|A) 6 P (B|A).

3. Если B и C несовместны P (B + C|A) = P (B|A) + P (C|A) (теорема сложения веро-ятностей для несовместных событий)

4. ^¯

P (B|A) = 1 − P (B|A)

Замечание:Пусть имеетсяK(и толькоK)попарно несовместных исходов некоторогоопыта A₁; A₂; : : : ; A_k, называемых гипотезами. Пусть некоторое случайное событие B может произойти при выполнении одной из гипотез. Тогда очевидно, что B = A₁B + A₂B + : : : + A_kB (все события A_iB несовместны,поэтому можно воспользоваться тео-ремой сложения вероятностей)

Формула носит название формулы полной вероятности

_∑k

P (B) = P (A_i) ∗ P (B|A_i)

i=1

Задача:Имеется5урн:в двух по одному белому и пять чёрных шаров;в одной– 2бе-лых, 5 чёрных; в двух – 3 белых, 5 чёрных шаров. Наудачу выбирается одна урна. Из неё извлекается один шар. Какова вероятность того, что шар белый?

B =извлечён белый шар

P (B) =¹₆ ∗ ²₅+²₇ ∗ ¹₅+³₈ ∗ ²₅=²³₈₄