Дисперсия случайной величины и её основные свойства.

Дисперсия D - число, определяемое формулой D = M( − M )² (1), т.е. дисперсия представляет собой квадрат разности случайной величины и её математического ожида-ния. Другое название - квадрат среднеквадратического отклонения.

√

Часто в прикладных задачах вместо D рассматривают величину D, называемую сред-неквадратическим отклонением

Формулу (1) можно продолжить, тогда мы получим

D = M ⁽² − 2 M + (M )²⁾= M² − 2M + 2M + (M )²= M² − (M )²;

откуда (2) D = M² + (M )²

1. Пусть - дискретная величина, принимающая значения x₁; : : : ; x_n с вероятностями p₁; : : : ; p_n

2. Пусть - непрерывная случайная величина, значит может быть определена функция f (x).

_∫∞

D = (1) = x²f (x)dx − (M )²

−∞

Дадим механическую интерпретацию математического ожидания и дисперсии случай-ной величины. Будем представлять закон распределения вероятностей p_k = P ( =

_∑n

x_k); p_k = 1случайной величины,как закон распределения единичной массы на пря-

k=1

мой: в точках x_k сосредоточены массы p_k :

Тогда

∑ⁿ

M = x_kP ( = x_k)-центр тяжести СМАТ

k=1

∑ⁿ

D = (x_k − M )² ∗ p_k -момент инерции относительно начала координат

k=1

(x a)²

Пример:D=?; f(x) =e^{−2 2}

Решение:

Вывод: дисперсия нормального распределения случайной величины равна второму па-раметру распределения ( ²): M = a; D = ²

Свойства дисперсии

1. Дисперсия неотрицательна: D > 0: D = 0 ⇐⇒ = const. Доказательство: D = M( − M )² > 0− по свойству монотонности.

Пусть = c = const.

Тогда D_c = M(c − M_c)² = (c − c)² = 0.

2. Если a = const, то дисперсия D(a ) = a²D . Доказательство:

D(a ) = M(a −Ma )²= M(a −aM )²= M[a²( −M )²] = a²M( −M ) = a²D

3. Если ; независимы, то

D( + ) = M ⁽+ − M( + )⁾²= M ⁽( − M ) + ( − M )⁾²=

= M( − M )² + 2( − M )( − M ) + M( − M )² =

( )

= M( − M )² + 2M ( − M ) ∗ ( − M ) + M( − M )² = D + D