русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Связность и симплициальные комплексы


Дата добавления: 2013-12-23; просмотров: 1772; Нарушение авторских прав


Пример

Связность и графы

Структурная связность системы является, по-видимому, наиболее существенной ее качественной характеристикой. Кажется очевидным, что с исчезновением структурной связности исчезнет и сама система, поскольку само понятие системы подразумевает наличие «чего-то», находящегося в некотором отношении (или как-то связанного) с «чем-то».

Анализ задачи построения математического описания связности может быть осуществлен с помощью различных подходов, причем наиболее удачные из них построены на использовании теории графов и алгебраической (комбинаторной) топологии. Это является вполне закономерным, поскольку вопрос о характере связности «простейших элементов» единого целого интересует алгебру в гораздо большей степени, чем любую другую математическую дисциплину.

Сущность исследования связности состоит в том, чтобы осознать и уяснить себе те математические конструкции, которые описывают характер связи между отдельными компонентами системы. Если вообразить некоторую систему, в которой можно выделить n различных компонент (подсистем), то можно попытаться изобразить структуру (связную) графом (см.рис.2.5): n вершин изображают n подсистем системы, а дуга, соединяющая подсистемы i и j, показывает, что эти две подсистемы находятся в некотором отношении или как-то связаны между собой. Например, j-я подсистема может генерировать входы для i-й подсистемы, а i-я управлять j-й и т.д. Эту схему, естественно, можно развить. Так, например, можно ввести ориентацию на дугах и образовать ориентированный граф (орграф). Такое представление системы позволит изучать ситуации, когда i-я система влияет на j-ю, но не наоборот. Кроме того, можно учесть силу связности, сопоставив каждой направленной дуге некоторое число и т.д. Все это в конечном счете позволяет определить, какие компоненты системы влияют на другие компоненты и в какой степени. По существу теоретико-графовые модели позволяют несколько лучше понять, как можно было бы осуществить декомпозицию системы на меньшие составляющие без потери тех основных свойств, в силу которых она и является системой.



Рис.7.3 — Теоретико-графовое описание

Трофические структуры и экологические ниши. Рассмотрим экологическую структуру, состоящую из пяти видов: птиц, насекомых...

Рис.7.4 — Орграф простой системы

Трофическая структура этого сообщества изображается орграфом, вершины которого соответствуют видам. Дуга, проведенная от i-го вида к j-му, означает, что j-й вид является жертвой i-го вида. По данному графу можно построить матрицу смежности аналогичную матрице инциденций в теоретико-множественном описании, а также ряд других показателей, характеризующих важные аспекты системы.

I \ j Птицы Лисы Насекомые Травы Антилопы
Птицы
Лисы
Насекомые
Травы
Антилопы

Отметим, что некоторые из компонент (например, травы) кажутся более важными для системы в целом, чем другие (например, птицы), и, по-видимому, это связано с такими экологическими понятиями, как трофический уровень и борьба видов. Важно подчеркнуть, что теоретико-графовое описание позволяет непосредственно увидеть некоторые геометрические свойства матрицы смежности.

Как бы ни были важны и удобны теоретико-графовые методы для зрительного анализа связности, их использование неизбежно связано с трудностями геометрического и аналитического характера, если учитывается структура самих компонент. Из общих соображений можно ожидать, что при попытке описать многомерную структуру планарным графом или, более общо, графом, изображенным на плоскости (это не одно и то же!), многое из геометрической структуры системы будет утеряно или в лучшем случае скрыто. По этой причине обратимся к другому возможному способу анализа связности, основанному на топологических идеях.

Приближенно симплициальный комплекс состоит из множества вершин X и множества симплексов Y, образованных из этих вершин в соответствии с заданным бинарным отношением.Симплициальный комплекс образован множеством симплексов Y, связанных через общие грани, т.е. через общие вершины. Например, можно положить Y = X = {птицы, лисы, насекомые, травы, антилопы}. При этом отношение таково: симплекс состоит из всех вершин, таких, что Xj является жертвой Yi. Таким образом, Yi = «птицы» — 1-симплекс, состоящий из вершин «насекомые» и «травы», y2 = «лисы» — 1-симплекс, состоящий из вершин «птицы» и «насекомые» и т.д. Отметим, что n-симплекс состоит из n+1 вершин и его размер на единицу меньше числа вершин.

Вообще говоря, p — симплекс представляется выпуклым многогранником с вершинами в эвклидовом пространстве, а комплекс Ky(X,L) совокупностью таких многогранников в эвклидовом пространстве E. Хотя размерность наверняка не превышает суммы размерностей всех симплексов из Ky(X,L), однако поскольку многие симплексы имеют общие грани, то размерность на самом деле окажется меньше. В действительности можно показать, что если dim[Ky(X,L)] = n, то 7 a 1 = 2⋅n + 1. Так, если dim[Ky(X,L)] = 1, то наибольший порядок есть p = 1, поэтому можно ожидать, что трехмерного пространства E3 будет достаточно, чтобы геометрически представить произвольный комплекс размерности 1. Это можно проиллюстрировать следующим образом: на плоскости (E2) надо соединить непересекающимися линиями три дома H1, H2 и H3 с источником газа, воды и электроэнергии. Неразрешимость поставленной задачи иллюстрирует наше утверждение. Задача графически изображена на рис.7.5, а ее решение в E3 показано на рис.7.6.

Рис.7.5 — Проблема пересечений в E2

Рис.7.6 — Решение проблемы пересечений в E2

Основываясь на геометрической интуиции, можно изучать многомерную связную структуру комплекса Ky(X,L) различными способами с привлечением алгебраических методов. В связи с этим рассмотрим некоторые важные понятия.



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Глобальные свойства системы | Гомотопия


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.

Генерация страницы за: 0.006 сек.