Логические основы компьютера

Алгебра логики— это раздел математики, изучающий высказывания, рас­сматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложно­сти) и логических операций над ними.

Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не», «и», «или», «если ..., то», «тогда и только тогда» и др. позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания на­зываются логическими связками.Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логи­ческих связок, называются составными.Высказывания, не являющиеся состав­ными, называются элементарными.Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение:

1 Операция, выражаемая словом «не», называется отрицаниеми обозна­чается чертой над высказыванием. Высказывание не А истинно, когда А ложно, и ложно, когда А истинно.

2 Операция, выражаемая связкой «и», называется конъюнкцией (лат. conjunctio - соединение) или логическим умножением и обозначается точкой • (может обозначаться знаком или &). Высказывание А&В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны.

Например, высказывание «10 делится на 2 и 5 больше 3» истинно, а высказывания «10 делится на 2 и 5 не больше 3», «10 не делится на 2 и 5 больше 3», «10 не делится на 2 и 5 не больше 3» ложны.

3 Операция, выражаемая связкой «или» (в неразделительном, неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio -разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом). Высказывание A v B ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны. Например, высказывание «10 не делит­ся на 2 или 5 не больше 3» ложно, а высказывания «10 делится на 2 или 5 больше 3», «10 делится на 2 или 5 не больше 3», «10 не делится на 2 или 5 больше 3» истинны.

Операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.

Математический аппарат алгебры логики очень удобен для описания того, как функционируют аппаратные средства компьютера, поскольку основной системой счисления в компьютере является двоичная, в которой используются цифры 1 и 0, а значений логических переменных тоже два – 1 и 0. На этапе конструирования аппаратных средств алгебра логики по­зволяет значительно упростить логические функции, которые описывают функционирование схем компьютера, и, следовательно, уменьшается число элементарных логических элементов, из десятков тысяч кото­рых состоят основные узлы компьютера.