Лекция 5.

На практике формулой Ньютона-Лейбница часто нельзя воспользоваться по двум основным причинам: * вид функции не допускает непосредственного интегрирования, т. е. первообразную нельзя выразить в элементарных функциях; *значения функции заданы только на фиксированном конечном множестве точек , т.е. функция задана в виде таблицы.

В этих случаях используются методы численного интегрирования. Они основаны на аппроксимации подынтегральной функции некоторыми более простыми выражениями, например многочленами.

В первом случае подынтеграль­ную функцию можно представить в виде степенного ряда (ряда Тейлора). Это позволяет свести вычисление интеграла от сложной функции к интегрированию многочлена, представляющего первые несколько членов ряда.

Пример. Вычислить интеграл с погрешностью .

.

Заменяя на : .

Более универсальными методами, которые пригодны для обоих слу­чаев, являются методы численного интегрирования, основанные на ап­проксимации подынтегральной функции с помощью интерполяционных многочленов. Будем использовать кусочную (локальную) интерполяцию. Это позволит приближенно заменить приближенный интеграл интегральной суммой. В зависимости от способа ее вычисления получаются разные методы численного интегрирования (методы прямоугольников, трапеций, парабол, сплайнов и д.р.).

Методы прямоугольников и трапеций.

Простейшим методом численной интерполяции является метод прямоугольников. Он использует замену определенного интеграла интегральной суммой

.

В качестве точек могут выбираться левые или правые границы элементарных отрезков. Обозначая , , получаем формулы метода прямоугольников

.

Более точным является вид формулы прямоугольников, использующий значения функции в средних точках элементарных отрезков (в полуцелых узлах):

, .

В дальнейшем под методом прямоугольников будем понимать последний алгоритм (метод средних).

Метод трапеций использует линейную интерполяцию, т.е. график функ­ции представляется в виде ломаной, соединяющей точ­ки . В этом случае площадь всей фигуры (криволинейной трапеции) складывается из площадей элементарных прямолинейных трапеций.

Площадь каждой такой гранении равна произведению полусуммы оснований на высоту:

.

Складывая все эти равенства, получаем фор­мулу трапеций для численного интегрирова­ния:

.

При интегрировании с постоянным шагом :

- (метод средних).

- формула трапеций.