Многочлен Лагранжа.

Перейдем к случаю глобальной интерпо­ляции, т.е. к построению интерполяционного многочлена, единого для всего отрезка . При этом график интерполяционного многочлена должен проходить через все заданные точки.

Запишем искомый многочлен в виде

(21).

Из условий равенства значений этого многочлена в узлах соответствующим заданным табличным значениям получим следующую систему уравнений для нахождения коэффициентов :

(22).

Эта система имеет единственное решение, если среди узлов интерполяции нет совпадающих, т.е. если при . Решив эту систему, найдем коэффициенты интерполяционного многочлена (21). Такой путь построения интерполяционного многочлена требует значительного объема вычислений, особенно при большом числе узлов. Существуют более простые алгоритмы построения интерполяционного многочлена.

Будем искать интерполяционный многочлен в виде линейной комби­нации многочленов степени :

(23).

При этом потребуем, чтобы каждый многочлен обращался в нуль во всех узлах интерполяции, за исключением одного (-го), где он дол­жен равняться единице. Легко проверить, что этим условиям отвечает многочлен вида

(24).

Действительно, при . При , числитель (24) обращается в нуль. По аналогии с (24) получим

(25).

Подставляя в (23) выражения (24) и (25), находим

(26).

Эта формула называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

Из формулы (26) можно получить выражения для линейной и квадратичной интерполяции:

, ;

, .

Многочлен Ньютона.

До сих пор не делалось никаких предполо­жений о законе распределения узлов интерполяции. Теперь рассмотрим случай равноотстоящих значений аргумента, т.е.

.

Величина , называется шагом.

Введем также понятие конечных разностей. Пусть известны значения функции в узлах : . Составим разности значений функции:

.

Эти значения называются первыми разностями (или разностями первого порядки) функции.

Можно составить вторые разности функции:

.

Аналогично составляются разности порядка : .

Конечные разности можно выразить непосредственно через значения функции. Например,

.

Аналогично для любого можно написать

. (27)

Эту формулу можно записать и для значения разности в узле :

.

Используя конечные разности, можно определить :

(28).

Перейдем к построению интерполяционного многочлена Ньютона. Этот многочлен будем искать в следующем виде:

(29).

График многочлена должен проходить через заданные узлы, т.е.

.

Эти условия используем для нахождения коэффициентов многочлена:

.

Найдем отсюда коэффициенты :

.

Аналогично можно найти и другие коэффициенты. Общая формула имеет вид

.

Подставляя эти выражения в формулу (29), получаем следующий вид интерполяционного многочлена Ньютона:

(30).

Конечные разности могут быть вычислены по формуле (27).

Формулу (30) часто записывают в другом виде. Для этого вводится переменная ; тогда .

С учетом этих соотношений формулу (30) можно переписать в виде:

(31).

Полученное выражение может аппроксимировать данную функцию на всем отрезке изменения аргумента . Однако более целесообразно (с точки зрения повышения точности расчетов и уменьшения числа членов в (31)) ограничиться случаем , т.е. использовать формулу (31) для . Для других значений аргумента, например для , вместо лучше взять значение . Таким образом интерполяционный многочлен Ньютона можно записать в виде

, (32).

Полученное выражение называется первым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования вперед.

Интерполяционную формулу (32) обычно используют для вычисления значений функции в точках левой половины рассматриваемого отрезка. Это объясняется следующим.

Разности вычисляются через значения функции , причем ; поэтому при больших значениях мы не можем вычислить разности высших порядков .

Например, при в (32) можно учесть только .

Для правой половины рассматриваемого отрезка разности лучше вычислять справа налево. В этом случае , где , и интерполяционный многочлен Ньютона можно получить в виде (33).

Полученная формула называется вторым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования назад.