Точечная аппроксимация.

Одним из основных типов точечной ап­проксимации является интерполирование. Оно состоит в следующем: для данной функции строим многочлен (1), принимающий в заданных точках , те же зна­чения , что и функция , т. е.

, (2).

При этом предполагается, что среди значений нет одинаковых, т. е. при . Точки называются узлами интерполяции, а многочлен - интерполяционным многочленом.

Максимальная степень интерполяционного многочлена , в этом случае говорят о глобальной интерполяции, поскольку один многочлен

(3)

используется для интерполяции на всем рассматриваемом интервале аргумента . Коэффициенты многочлена (3) находятся из системы уравнений (2). При () эта система имеет единственное решение.

Интерполяционные многочлены могут строиться отдельно для разных частей рассматриваемого интервала изменения . В этом случае имеем кусочную (или локальную) интерполяцию.

При использовании интерполяции многочленов вне рассматриваемого отрезка приближение называют экстраполяцией.

При большом количестве узлов интерполяции в случае глобальной интерполяции получается высокая степень многочлена (3). Кроме того, табличные данные, полученные при измерениях, могут содержать ошибки. Построение аппроксимирующего многочлена с услови­ем обязательного прохождения ее графика через экспериментальные точки означало бы тщательное повторение допущенных при измерениях ошибок. Выход из этого положения может быть найден выбором такого многочлена, график которого проходит близко от данных точек.

Одним из таких видов приближения является среднеквадратичное приближение функции с помощью многочлена (1).При этом ; случай соответствует глобальной интерполяции. На практике стараются подо­брать аппроксимирующий многочлен как можно меньшей степени .

Мерой отклонения многочлена от заданной функции на мно­жестве точек при среднеквадратичном прибли­жении является величина , равная сумме квадратов разностей между значениями многочлена и функции в данных точках

(4).

Для построения аппроксимирующего многочлена нужно подобрать коэффициенты так, чтобы величина была наименьшей. В этом состоит метод наименьших квадратов.

Равномерное приближение.

При построении приближения ста­вится более жесткое условие: требуется, чтобы во всех точках некоторого отрезка отклонение многочлена от функции было по абсолютной величине меньшим заданной величины :

, .

В этом случае говорят, что многочлен равномерно ап­проксимирует функцию с точностью на отрезке .

Введем понятие абсолютного отклонения многочлена от функции на отрезке . Оно равно максимальному значению абсолютной величины разности между ними на данном отрезке:

(5).

По аналогии можно ввести понятие среднеквадратичного отклонения при среднеквадратичном приближении функций.

Возможность построения многочлена, равномерно приближающего данную функцию, следует из теоремы Вейерштрасса об аппрокси­мации.

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , то для любого существует многочлен степени , абсолютное отклонение которого от функции на отрезке мень­ше .

Существует также понятие наилучшего приближения функции многочленом фиксированной степени . В этом случае коэффи­циенты многочлена следует выбрать так, чтобы на заданном отрез­ке величина абсолютного отклонения (5) была минимальной. Многочлен называется многочленом наилучшего равномерного приближения. Существование и единственность многочлена наилучшего равномерного приближения вытекает из следующей теоремы:

Теорема. Для любой функции , непрерывной на замкнутом огра­ниченном множестве , и любого натурального существует много­член степени не выше , абсолютное отклонение которого от функции минимально, т. е. , причем такой многочлен единственный.

(Множество обычно представляет собой либо некоторый отрезок либо конечную совокупность точек .)