Многочлены Чебышева.

Погрешности могут быть распреде­лены неравномерно но рассматриваемому интервалу изменения аргумента. Одним из способов совершенство­вания алгоритма вычислений, позволяющих более равномерно распределить погрешность по всему интервалу, является использование многочленов Чебышева.

Многочлен Чебышева степени определяется следующей формулой:

, (6)

, .

Приведем многочлены Чебышева, полученные по формуле (6) при .

Для вычисления многочленов Чебышева можно воспользоваться рекуррентным соотношением , (7).

В ряде случаев важно знать коэффициент при старшем члене многочлена Чебышева степени

.

Перейдем к пределу при и воспользуемся формулой (6). Получим

Многочлены Чебышева можно представить в тригонометрической форме:

(8).

Нули (корни) многочленов Чебышева на отрезке определяются формулой

.

Они расположены неравномерно на отрезке и сгущаются к его концам. Вычисляя экстремумы многочлена Чебышева по обычным правилам (с помощью производных), можно найти его максимумы и минимумы:

.

В этих точках многочлен принимает поочередно значения , т.е. все максимумы равны 1, а минимумы равны -1. На границах отрезка значения многочленов Чебышева равны 1.

Приведем формулы, необходимые при использовании многочленов Чебышева.

1.Многочлены Чебышева:

,

2.Представление степеней через многочлены :

3.Выражение через более низкие степени:

Вычисление многочленов в лоб требует выполнить умножений и сложений.

Для исключения возведения в степень в каждом члене, многочлен целесообразно переписать в виде:

.

Этот прием называется схемой Горнера. Метод требует умножений и сложений.

Алгоритм метода Горнера.

Использование схемы Горнера экономит машинное время и повышает точность вычислений за счет уменьшения погрешностей округления.