Системы уравнений.

1. Вводные замечания. Ранее рассматривались системы линейных уравнений. Многие практические задачи сводятся к решению системы нелинейных уравнений. Пусть для вычисления неизвестных требуется решить систему нелинейных уравнений

(1)

В отличие от систем линейных уравнений не существует прямых методов решения нелинейных систем общего вида. Лишь в отдельных случаях систему (1) можно решить непосредственно. Например, для случая двух уравнений иногда удается выразить одно неизвестное через другое и таким образом свести задачу к решению одного нелинейного уравнения относительно одного неизвестного.

Для решения систем нелинейных уравнений обычно используются итерационные методы. Ниже будут рассмотрены два из них — метод простой итерации и метод Ньютона.

2. Метод простоя итерации. Систему уравнений (1) представим в виде

(2)

Алгоритм решения этой системы методом простои итерации напоминает метод Гаусса — Зейделя, используемый для решения систем линейных уравнений.

Пусть в результате предыдущей итерации получены значения неизвестных . Тогда для неизвестных на следующей итерации имеют вид

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока изменения всех неизвестных в двух последовательных итерациях не станут малыми, т.е. абсолютные величины их разностей не станут меньшими заданного малого числа.

При использовании метода простой итерации успех во многом определяется удачным выбором начальных приближений неизвестных: они должны быть достаточно близкими к истинному решению. В противном случае итерационный процесс может не сойтись.

3. Метод Ньютона. Этот метод обладает гораздо более быстрой сходимостью, чем метод простой итерации. В случае одного уравнения алгоритм метода Ньютона был легко получен путем записи уравнения касательной к кривой . В основе метода Ньютона для системы уравнений лежит использование разложения функций в ряд Тейлора, причем члены, содержащие вторые (и более высоких порядков) производные, отбрасываются.

Пусть приближенные значения неизвестных системы (1) (например, полученные на предыдущей итерации)

равны соответственно . Задача состоит в нахождении приращений (поправок) к этим значениям

, благодаря которым решение системы (1) запишется в виде

(3).

Проведем разложение левых частей уравнений (1) учетом (3) в ряд Тейлора, ограничиваясь лишь линейными членами относительно приращений:

Поскольку в соответствии с (1) левые части этих выражений должны обращаться в нуль, то приравняем нулю и правые части. Получим следующую систему линейных алгебраических уравнений относительно приращений:

(4).

Значения и их производные вычисляются при .

Определителем системы (4) является якобиан

.

Для существования единственного решения системы (4) он должен быть отличным от нуля на каждой итерации.

Таким образом, итерационный процесс решения системы уравнений (1) методом Ньютона состоит в определении приращений к значениям неизвестных на каждой итерации. Счет прекращается, если все приращения становятся малыми по абсолютной величине:.В методе Ньютона также важен удачный выбор начального приближения для обеспечения хорошей сходимости. Сходимость ухудшается с увеличением числа уравнений системы.

В качестве примера рассмотрим использование метода ньютона для решения системы двух уравнений

(5)

Пусть приближенные значения неизвестных равны . Предположим, что якобиан системы (5) при отличен от нуля, т.е.

.

Тогда следующие приближения неизвестных можно за­писать в виде

Величины, стоящие в правой части, вычисляются при . В блок-схеме в качестве исход­ных данных задаются начальные приближения неизвест­ных , погрешность и допустимое число итераций . Если итерации сойдутся, то выводятся значения ; в противном случае происходит вывод .