Метод Гаусса — Зейделя.

Одним из самых распро­страненных итерационных методов, отличающийся про­стотой и легкостью программирования, является метод Гаусса — Зейделя.

Проиллюстрируем сначала этот метод на примере ре­шения системы

(5)

Предположим, что диагональные элементы от­личны от нуля (в противном случае можно переставить уравнения). Выразим неизвестные соответ­ственно из первого, второго и третьего уравнений систе­мы (5):

(6)

(7)

(8)

Зададим некоторые начальные (нулевые) приближения значений неизвестных:, , . Подставляя эти значения в правую часть выражения (6), получаем новое (первое) приближение для :

.

Используя это значение для и приближение для , находим из (7) первое приближение для :

.

И наконец, используя вычисленные значения , , находим с помощью выражения (8) первое приближение для :

.

На этом заканчивается первая итерация решения системы (6-8). Используя теперь значения можно таким же способом провести вторую итерацию, в результате которой будут найдены вторые приближения к решению: , , и т. д. Приближение с номером можно представить в виде

,

,

.

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения не станут близкими с заданной погрешностью к значениям .

Итерационный процесс можно продолжать до получения малой разности между значениями неизвестных в двух последовательных итерациях.

Рассмотрим систему линейных уравнений с неизвестными. Запишем её в виде

,

Здесь также будем предполагать, что все диагональные элементы отличны от нуля. Тогда в соответствии с ме­тодом Гаусса — Зейделя -е приближение к решению можно представить в виде

, (9)

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока все значения не станут близкими . Близость этих значений можно характеризовать максимальной абсолютной величиной их разности . Тогда при заданной допустимой погрешности критерий окончания ите­рационного процесса можно записать в виде

(10).

Это критерий по абсолютным отклонениям.

При выполнении условия (10) итерационный процесс Гаусса — Зейделя называется сходящимся. В этом случае максимальные разности между зна­чениями переменных в двух последовательных итерациях убывают, а сами эти значения стремятся к решению системы уравнений.

Для сходимости итерационного процесса достаточно, чтобы модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы были не меньше сумм модулей всех остальных коэффициентов:

, (11)

При этом хотя бы для одного уравнения неравенство должно выполняться строго. Эти условия являются до­статочными для сходимости метода, но они не являются необходимыми, т. е. для некоторых систем итерации схо­дятся и при нарушении условий (11).

Блок-схема алгоритма решения системы линейных уравнений методом Гаусса — Зейделя. В качестве исходных данных вводятся коэффи­циенты и правые части уравнений системы, погреш­ность , допустимое число итераций , а также началь­ные приближения переменных (). Начальные приближения можно не вводить в ЭВМ, а полагать их равными некоторым значениям (например, нулю).

Обозначения: - порядковый номер итерации; - номер уравнения, а также переменного, которое вычисляется в данном цикле; - номер члена вида в правой части соотношения (9). Итерации прекращаются либо после выполнения условия (10), либо при . В по­следнем случае итерации не сходятся, и после итера­ций счет прекращается без выдачи результатов. Можно предусмотреть в этом случае также и вывод на печать некоторой поясняющей информации.