Метод деления отрезка пополам (метод бисекции).

Это один из простейших методов нахождения корней нелинейных уравнений. Он со­стоит в следующем. Допустим, что нам удалось найти отрезок , на котором расположено искомое значение корня ,т.е. . В качестве начального приближения корня принимаем середину этого от­резка, т.е.

.

Далее исследуем значения функции на концах отрезков и , т. е. в точках . Тот из отрезков, на концах которого принимает значения разных знаков, содержит искомый ко­рень; поэтому его принимаем в качестве нового отрезка . Вторую половину отрезка , на которой знак не меняется, отбрасываем. В качестве первой итерации корня принимаем середину нового отрез­ка и т. д. Таким образом, после каждой итерации отрезок, на котором расположен корень, уменьша­ется вдвое, а после итераций он сокращается в раз.

Пусть для определенности , .

В качестве начального приближения корня примем .

Поскольку в рассматриваемом случае , то , и рассматриваем только отрезок . Следующее приближение: . При этом отрезок отбрасываем, поскольку и т.е. . Аналогично находим другие приближения: и т.д.

Итерационный процесс продолжаем до тех пор, пока значение функции после -ой итерации не станет меньшим по модулю некоторого заданного малого числа , т.е.

.

Можно также оценивать длину полученного отрезка: если она становится меньше допустимой погрешности, то счет прекращается.

Здесь сужение отрезка производится путем замены границ или на текущее значение корня . При этом значение вычисляется лишь один раз, поскольку нам нужен только знак функции па левой границе, а он в процессе итераций не меняется.

Метод деления отрезка пополам довольно медленный, однако он всегда сходится, т.е. при его использовании решение получается всегда, причем с заданной точностью. Требуемое обычно большее число итераций по сравнению с некоторыми другими методами не является препятствием к применению этого метода, если каждое вычисление значения функции несложно.