Метод Ньютона (метод касательных).

Метод хорд.

Пусть мы нашли отрезок , на котором функ­ция меняет знак. Для определен­ности примем , . В данном методе процесс итерации состоит в том, что в качестве приближений корню уравнения принимаются значения точек пересечения хорды с осью абсцисс.

Сначала находим уравнение хор­ды : .

Для точки пересечения её с осью абсцисс получим уравнение .

Далее, сравнивая знаки величин и для рассматриваемого случая, приходим к выводу, что корень находится в интервале , т.к. . Отрезок отбрасываем. Следующая итерация состоит в определении нового приближения как точки пересечения хорды с осью абсцисс и т.д. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значение не станет по модулю меньше заданного числа .

Как видим, алгоритмы метода деления отрезка пополам и метода хорд похожи, однако второй из них в ряде случаев дает более быструю сходимость итерационного процесса. При этом успех его применения, как и в методе деления отрезка пополам, гарантирован.

Блок схема метода хорд аналогична предыдущей с той лишь разницей, что вместо вычисления приближения корня по формуле нужно использовать формулу . Кроме того, в блок-схему необходимо ввести операторы вычисления значений на границах новых отрезков.

Его отличие от предыду­щего метода состоит в том, что на ойитерации вместо хорды проводится касательная к кри­вой при и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс. При этом не обязательно задавать отрезок , содержащий корень уравнения , адоста­точно лишь найти некоторое на­чальное приближение корня .Уравнение касательной, про­веденной к кривой в точке с координатами и , имеет вид

.

Отсюда найдем следующее приближениекорня как абсциссу точки пере­сечения касательной с осью :

.

Аналогично могут быть найдены и следующие приближения как точки пересечения с осью абсцисс касательных, проведенных в точках и т. д. Формула для -гоприближения имеет вид : .

При этом необходимо, чтобы . Для окончания итерационного процесса могут быть использованы условия или условие близости двух последовательных приближений: .

Из следует, что на каждой итерации объем вычислений в ме­тоде Ньютона больший, чем в рассмотренных ранее методах, поскольку приходится находить значение не только функции , но и ее производ­ной. Однако скорость сходимости здесь значительно выше, чем в других методах.

Остановимся на некоторых вопросах, связанных со сходимостью ме­тода Ньютона и его использованием. Имеет место следующая теорема.

Теорема. Пусть — корень уравнения , т.е. , а и непрерывна. Тогда существует окрестность корня такая, что если начальное приближение принадлежит этой окрестности, то для метода Ньютона последовательность значений сходится к при . При этом для погрешности корня имеет местосоотношение :

.

Фактически это означает, что на каждой итерации погрешность возво­дится в квадрат, т. е. число верных знаков корня удваивается. Если , то легко показать, что при после пяти-шести итераций погрешность станет величиной порядка . Это наименьшее возможное значение погрешности при вычислениях на современных ЭВМ даже с удвоенной точностью. Заметим, что для получения столь малой погрешности в методе деления отрезка пополам потребовалось бы более 50 итераций.

Трудность в применении метода Ньютона состоит в выборе начального приближения,которое должно находиться в окрестности . Поэтому иногда целесообразно использовать смешанный алгоритм. Он состоит в том, что сначала применяется всегда сходящийся метод (например, метод деления отрезка пополам), а после некоторого числа итераций — быстро сходящийся метод Ньютона.