Уравнении с одним неизвестным

Лекция 2

НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Вводные замечания.Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида

встречается в различных областях научных исследований (здесь— некоторая непрерывная функция).Нелинейные уравнения можно раз­делить на два класса - алгебраическиеи трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называются уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Урав­нения, содержащие другие функции (тригонометрические, показа­тельные, логарифмическиеи др.), называются трансцендентными.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые и итераци­онные. Прямые методы позволяют записать корни в виде некоторого конеч­ного соотношения (формулы). Вам из­вестны такие методы для решения тригонометрических, логарифмических,показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

Однако встречающиеся на практике уравнения не удастся решить та­кими простыми методами. Для их решения используются итерационные методы, т.е. методы последовательных приближений. Алгоритм нахождения корня уравнения с помощью итерационного метода состоит из двух этапов:

а) отыскания приближенного значения корня или содержащего его отрезка;

б) уточнения приближенного значения до некоторой задан­ной степени точности.

Начальное приближение может быть найдено различными способами: из физических соображений, из решения аналогичнойзадачи при других исходных данных, с помощью графических методов. Если такие априор­ные оценки исходного приближения провести не удастся, то находят две близко расположенные точки и , в которых непрерывная функция принимает значения разных знаков, т.е.

.

В этом случае между точками и есть но крайней мере одна точка, в которой . В качестве начального приближения можно принять середину отрез­ка , т.е.

.

Итерационный процесс состоит в последо­вательном уточнении начального приближения . Каждый такой шаг на­зывается итерацией. В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня Если эти значения сростом стремятся к истинному значению корня то говорят, что итерационный процесс сходится.