Устойчивость. Корректность. Сходимость

Рассмотрим погрешности исходных данных. Пос­кольку это так называемые неустранимые погрешности и вычислитель не может с ними бороться, то нужно хотя бы иметь представление об их влия­нии на точность окончательных результатов.

Мы вправе надеяться на то, что погрешность результатов имеет порядок погрешности исходных данных. Это не всегда так. Чувствительность к неточностям в исходных данных характеризуется устойчивостью.

Пусть в результате решения задачи по исходному значению величи­ны находится значение искомой величины . Если исходная величина имеет абсолютную погрешность , то решение имеет погрешность . Задача называется устойчивой по исходному параметру , если решение непрерывно от него зависит, т.е. малое приращение исходной величины приводит к малому приращению искомой величины . Другими словами, малые погрешности в исходной величине приводят к малым погрешностям в результате расчетов.

Отсутствие устойчивости означает, что даже незначительные погреш­ности в исходных данных приводят к большим погрешностям в решении или вовсе к неверному результату. О подобных неустойчивых задачах также говорят, что они чувствительны к погрешностям исходных данных.

Примером такой задачи является отыскание действительных корней многочлена вида , . Изменение правой части на величину порядка приводит к погрешности корней порядка

Корректность.Задача называется поставленной корректно, если для любых значений исходных данных из некоторого класса ее решение существует, единственно и устойчиво по исходным данным.

Применять для решения не корректно поставленных задач численные методы нецелесообразно. В настоящее время развиты методы решения некоторых некорректных задач. Это в основном так называемые методы регуляризации.

Понятие сходимости.При анализе точности вычислительного процесса одним из важнейших критериев является сходимость численного метода. Она означает близость получаемого численного решения задачи к истинному решению.

Рассмотрим понятие сходимости итерационного процесса. Этот про­цесс состоит в том, что для решения некоторой задачи и нахождения ис­комого значения определяемого параметра (например, корня нелинейного уравнения) строится метод последовательных приближений. В результате многократного повторения этого процесса (или итераций) получаем по­следовательность значений Говорят, что эта последова­тельность сходится к точному решению , если при неограниченном возрастании числа итераций предел этой последовательности существует и равен :.

В этом случае имеем сходящийся численный метод.

Таким образом, для получения решения задачи с необходимой точ­ностью ее постановка должна быть корректной, а используемый численный метод должен обладать устойчивостью и сходимостью.