Погрешности вычислений

Источники погрешностей.Оценка степени достоверности получаемых результатов является важнейшим вопросом при организации вычислительных работ. Это осо­бенно важно при отсутствии опытных или других данных для сравнения.

Рассмотрим источники погрешностей на отдельных этапах решения за­дачи.

Математическая модель, принятая для описания данного процесса, может внести существенные погрешности, если в ней не учтены какие-либо важные черты рассматриваемой задачи. В частности, математи­ческая модель может прекрасно работать в одних условиях и быть со­вершенно неприемлемой в других; поэтому важно правильно учитывать область ее применимости.

Исходные данные задачи часто являются основным источником пог­решностей. Это так называемые неустранимые погрешности,поскольку они не могут быть уменьшены вычислителем ни до начала решения задачи, ни в процес­се её решения. Следует стремиться к тому, чтобы все исходные данные были примерно одинаковой точнос­ти. Сильное уточнение одних исходных данных при наличии больших погрешностей в других, как правило, не приводит к повышению точности результатов.

Численный метод также является источником погрешностей. Это свя­зано с заменой интеграла суммой, с усечением рядов при вы­числениях значений функций, с интерполированием табличных данных и т. п. Как правило, погрешность численного методарегулируема, т.е. она может быть уменьшена до любого значения путем из­менения некоторого параметра (шага интегрирования, числа членов усеченного ряда и т. п.). Погрешность метода обычно стараются довести до величины, в несколько раз меньшей погрешности исходных данных.

При вычислениях с помощью ЭВМ неизбежны погрешности ок­руглений, связанные с ограниченностью разрядной сетки. Обычно после выполнения операции производится не округление результата, а простое отбрасывание лишних разрядов с целью экономии машинного времени. В современных машинах предусмотрена свобода выбора способа округления; соответствующими средствами располагают и некоторые алгоритмические языки.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую также может быть источником погрешности из-за того, что основание одной системы счисления не является степенью основания другой (например, 10 и 2). Это может привести к тому, что в новой системе счисления число становится иррациональным.

Уменьшение погрешностей.При рассмотрении погрешностей результатов арифметических операций отмечалось, что вычитание близ­ких чисел приводит к увеличению относительной погрешности; поэтому в алгоритмах следует избегать подобных ситуаций.

При сложении чисел следует придерживаться правила, в соответствии с которым сложение чисел нужно проводить по мере их возрастания.

Пример:

Складывая все эти числа, а затем округляя полученный результат до четырех значащих цифр, получаем . Однако при вычислении на компьютере округление происходит после каждого сложения.

Предполагая условно сетку четырехразрядной, проследим за вычислением на компьютере суммы чисел от наименьше­го к наибольшему:

Изменим теперь порядок вычислений и начнем складывать числа последовательно от последнего к первому:

При решении задачи на ЭВМ нужно использовать «маленькие хитрости» для улучшения алгоритма и снижения погрешностей результатов.

Например, при вычислении при в этом случае может помочь замена .

Для тригонометрических функций можно исполь­зовать формулы приведения. При вычислении экспоненты аргумент можно разбить на сумму целой и дробной частей и использовать разложение в ряд только для , а вычислять умножением.