Действия над приближенными числами.

Сформулируем пра­вила оценки предельных погрешностей при выполнении операций над приближенными числами.

При сложении или вычитании чисел их абсолютные погрешности скла­дываются .

Относительная погрешность суммы заклю­чена между наибольшим и наименьшим значениями относительных по­грешностей слагаемых; на практике принимается наибольшее значение.

При умножении или делении чисел друг на друга их относи­тельные погрешности складываются.

При возведении в степень прибли­женного числа его относительная погрешность умножается на показатель степени

.

Пример :Найти относительную погрешность функции.

Полученная оценка относительной погрешности содержит в знаменате­ле выражение . Ясно, что при можно получить очень большую погрешность. В связи с этим рассмотрим подробнее случай вычитания близких чисел.

Запишем выражение для относительной погрешности разности двух чисел в виде .

При эта погрешность может быть сколь угодно большой.

При организации вычисли­тельных алгоритмов следует избегать вычитания близких чисел; при воз­можности алгоритм нужно видоизменять во избежание потери точности на некотором этапе вычислений.

При сложении или вычитании приближенных чисел желательно, чтобы эти числа обладали одинаковыми абсолютными погрешностями, т.е. одинаковым числом разрядов после де­сятичной точки. При умно­жении и делении приближенных чисел количество значащих цифр вырав­нивается по наименьшему из них.

Для оценок погрешностей при вычислении функций, аргументами которых являются приближенные числа, более полным оказывается общее правило, основанное на вычислении приращения (погрешности) функции при заданных приращениях (погрешностях) аргументов.

Рассмотрим функцию одной переменной.Пусть — прибли­женное значение аргумента , — его абсолютная погрешность.

Абсо­лютную погрешность функции можно считать её приращением, которое мож­но заменить дифференциалом: . Тогда для оценки абсолютной погрешности получим выражение .

Аналогичное выражение можно записать для функции нескольких аргументов. Например, оценка абсолютной погрешности функции , приближенные значения аргументов которой соответствен­но имеет вид:

Здесь - абсолютные погрешности аргументов. Относительная погрешность находится по формуле:

.