Нормальное распределение

Равномерное распределение

Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Определение. Математическим ожиданием НСВ Хназывается число , где − плотность распределения СВ Х. (Предполагается, что этот интеграл абсолютно сходится.)

Если − функция НСВ Х, то .

Остальные характеристики НСВ вводятся аналогично характеристикам ДСВ.

Определение. Дисперсией НСВ Хназывается .

Определение.Средним квадратическим отклонением НСВ Хназывается .

Формула для вычисления: .

Пример. НСВ Х задана своей плотностью распределения:

Найти

Решение.

2) .

3) ;

4) .

Определение. Пусть СВ Х принимает значения на отрезке . Равномерным называется распределение вероятностей СВ Х, заданное плотностью

Равномерное распределение соответствует представлению о выборе точки из отрезка «наудачу». Примером СВ, имеющей такое распределение, может быть величина погрешности измерения при округлении показаний прибора до ближайшего целого значения.

Числовые характеристики равномерного распределения вычисляются легко:

Вероятность попадания значений СВ в отрезок .

Определение. НСВ Х называется распределенной по нормальному закону, если плотность ее распределения имеет вид: , где . Числа а и называются параметрами распределения.

Пример. Если производится измерение некоторой физической величины без систематических ошибок (взвешивание, измерение длины, измерение отклонения от идеального размера и т.д.) и на результат влияют многие независимые факторы (температура, влажность, колебания прибора и т.п.), то ошибка измерения имеет распределение, близкое к нормальному.

Вероятностный смысл параметров нормального распределения.

Непосредственными вычислениями можно установить, что для СВ Х, распределенной по нормальному закону, МХ=а, , .

Определение. Нормальное распределение с параметрами называется нормированным.

+ График : , ;

, ;

.

Вероятность попадания в интервал.

где − функция Лапласа (см. § 11, ч. 1) (ее значения можно найти в справочнике).

Вероятность заданного отклонения:

.

Пример. СВ Х распределена по нормальному закону с параметрами . Найти вероятность того, что Х примет значение в интервале (12; 14).

Решение.

.

Правило «трёх сигм»

Уже знаем, что . Обозначим . Получим

.

При , следовательно, , а тогда, т.е. очень мала.

Отсюда получаем правило: для нормально распределенной СВ Х модуль ее отклонения от математического ожидания практически не превосходит .

Суть Центральной предельной теоремы Ляпунова: если СВ Х представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному.

Для характеризации меры отклонения теоретического распределения от нормального используются величины, называемые асимметрия и эксцесс.

Предположим, что у теоретического распределения и нормального распределения совпадают математические ожидания МХ и дисперсии DX.

Асимметрия.

Напомним, что центральным моментом порядка k СВ Х называется . Если график плотности распределения симметричен относительно прямой , то все центральные моменты нечетных порядков равны нулю . Но для любой СВ. Поэтому для характеризации несимметричности плотности можно использовать . Поскольку значение этой величины зависит от единиц измерения СВ Х, то асимметрией называют

.

При положительной (отрицательной) асимметрии более «длинная» часть графика плотности распределения лежит правее (левее) прямой . + Иллюстрация.

Эксцесс.

Эксцессом называют величину, вычисляемую по формуле

.

Он является характеристикой островершинности графика плотности распределения. Для нормального распределения . При положительном значении эксцесса график плотности распределения является более «энергичным», а при отрицательном – более пологим в сравнении с нормальной кривой. + Иллюстрация.

Распределение («хи-квадрат»)

Пусть – независимые нормально распределенные величины, имеющие параметры распределения . Тогда СВ имеет распределение по закону с k=n степенями свободы.

Если СВ были связаны между собой s различными условиями, то число степеней свободы распределения будет равно .

Распределение определяется параметром k. С увеличением k распределение медленно приближается к нормальному. При больших k СВ будет иметь асимптотически нормальное распределение с параметрами и .