Закон больших чисел

Показательное (экпоненциальное) распределение

Определение. Показательным (экпоненциальным) называется распределение СВ, имеющее плотность . + График.

Функция распределения в этом случае .+ График.

Числовые характеристики показательного распределения.

Непосредственным вычислением легко установить, что , .

Вероятность попадания в интервал.

Замечание. Показательное распределение является единственным непрерывным распределением, обладающим свойством «отсутствия последействия»:

т.е. информация о том, что событие не наступило к данному моменту, не улучшает шансы на его наступление в дальнейшем. И для любых . Это свойство играет важную роль в задачах теории массового обслуживания.

Закон больших чисел (ЗБЧ)– это общий принцип, в силу которого совместное действие случайных факторов приводит при некоторых весьма общих условиях к результату, почти не зависящему от случая. Сближение частоты наступления случайного события с его вероятностью при возрастании числа испытаний (подмеченное сначала, пожалуй, на азартных играх) может служить первым примером проявления этого принципа.

В узком смысле под ЗБЧ понимается ряд теорем, которые утверждают приближение средних характеристик большого числа опытов к некоторым постоянным величинам. В широком смысле этот закон утверждает, что при очень большом числе случайных явлений средний их результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

Определение. Пусть п – число фактически проведенных опытов, т – количество испытаний, в которых появилось событие А. Тогда называется относительной частотой события А.

Пример. В XVIII веке Жорж Бюффон провел опыт: он бросил монету 4040 раз. При этом герб выпал 2048 раз. В начале ХХ века аналогичный опыт поставил Карл Пирсон. Монета была брошена 1000 раз, и герб выпал 4979 раз. Как видим, в этих опытах относительная частота выпадения герба приближенно совпала с вероятностью этого события: .

Теорема 3. (Теорема Я.Бернулли) (1713 г.)

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления некоторого случайного события А имеет одно и то же значение р ; – относительная частота наступления этого события в той же серии испытаний. Тогда для любого числа .

Теорема 4. (Теорема П.Л.Чебышёва) (1867 г.)

Пусть: 1) − независимые случайные величины;

2) их дисперсии ограничены одной и той же константой .

Тогда для любого числа .

Замечание 1. А.А.Марков (ученик П.Л.Чебышёва) доказал справедливость теоремы Чебышёва и для зависимых СВ. Суть этой теоремы состоит в том, что среднее арифметическое большого числа СВ утрачивает характер случайной величины.

Следствие. Если , то для любого числа

.

Замечание 2. Теорема Бернулли является следствием теоремы Чебышёва.

Некоторые применения теоремы Чебышёва и закона больших чисел:

1) для увеличения точности измерения физической величины увеличивают количество измерений. Но бесконечно увеличивать точность таким образом нельзя из-за ограниченности точности измерительных инструментов;

2) принцип диверсификации (разнообразия) работы банка. Он означает, что надо проводить разнообразные, не связанные друг с другом операции. Тогда убытки от одних операций будут более или менее покрыты прибылью от других операций;

3) для обеспечения репрезентативности выборки ее элементы должны отбираться случайным образом.