Биномиальное распределение. Распределение Пуассона

Другие числовые характеристики

.

Среднее квадратическое отклонение

Неудобство при использовании дисперсии для оценивания рассеивания СВ состоит в том, что единицы измерения дисперсии являются квадратами единиц измерения самой случайной величины. Следующая характеристика СВ свободна от этого недостатка.

Определение. Число называется средним квадратическим отклонением случайной величины Х.

Пример. Среднее квадратическое отклонение числа гербов, выпавших при двух бросаниях монеты, равно .

Свойство среднего квадратического отклонения: для независимых СВ

Определение. Начальным моментом порядкаk СВ Х называется .

Таким образом, Тогда .

Определение. Центральным моментом порядкаk СВ Х называется .

Легко заметить, что .

Определение. Биномиальным называется распределение дискретной СВ Х, которая принимает значения с вероятностями, вычисляемыми по формуле Бернулли:

.

По биномиальному закону распределено, например: а) число выпадений герба при двух бросаниях монеты; б) количество выпавших «пятерок» при 4 бросаниях кубика; в) количество взошедших семян (см. задачу 2 § 11, ч. 1).

Теорема 1. (О числовых характеристиках биномиального распределения)

Если СВ Х имеет биномиальное распределение с параметрами п, р и , то , .

Пример. а) Для СВ Х, равной числу выпадений герба при двух бросаниях монеты, , , . Тогда ; ; .

б) Пусть СВ Х − количество выпавших «пятерок» при 4 бросаниях кубика. Тогда , , . Следовательно, ; ; .

в) Рассмотрим СВ Х, равную количеству взошедших семян из 400 посеянных при всхожести с вероятностью 0,8. Параметры схемы Бернулли в этом случае имеют значения , , . Тогда ; ; .

Определение. Распределение дискретной СВ Х, которая принимает значения с вероятностями, вычисляемыми по формуле Пуассона:

,

называется распределением Пуассона.

При распределении Пуассона .

Пример. Пусть СВ Х – число разбитых при транспортировке ламп из 1000, полученных депо, если вероятность разбиться для каждой лампы равна 0,003 (см. задачу 3 § 11, ч. 1). В этом случае п=1000, р=0,003, . Следовательно, .