Дисперсия

В предыдущем примере видим, что, хотя математические ожидания двух СВ совпадают, но значения этих величин имеют различный разброс вокруг своего математического ожидания. Как охарактеризовать величину этого разброса?

Первое, что приходит на ум, − рассмотреть математическое ожидание отклонения значений СВ от среднего. Рассмотрим произвольную СВ Х. Найдем :

.

Т.е. для любой СВ =0 и, следовательно, не годится для оценки величины разброса. Для этой цели подойдет следующая характеристика СВ.

Определение. Дисперсией СВ Х называется число (математическое ожидание квадрата отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания).

Содержательный смысл дисперсии СВ состоит в том, что эта характеристика является мерой рассеяния значений СВ вокруг ее математического ожидания.

Замечание. Дисперсия случайной величины не является случайной величиной.

Пример. Найдем дисперсию числа гербов, выпавших при двух бросаниях монеты. В § 2 был составлен закон распределения этой СВ, а в п.1 текущего параграфа мы вычислили ее математическое ожидание: МХ=1. Составим закон распределения СВ :

Р

Вычислим дисперсию:

.

Формула для вычисления дисперсии:

.

Пример. Найдем с помощью этой формулы числа гербов, выпавших при двух бросаниях монеты. Составим закон распределения СВ :

Р

;

, как и при вычислении дисперсии по определению.

Определение. Величина называется корреляционным моментом СВ Х и Y.

Если СВ Х и Y независимы, то и тоже независимы и, следовательно,

,

т.е. характеризует наличие связи между СВ Х и Y.

Свойства дисперсии:

1) ;

2) ;

3) , а для независимых СВ Х и Y ;

4) ;

5) , а для независимых СВ Х и Y .