Описание поверхности в форме Фергюсона

Поверхность получаемая полиномом Лагранжа

Поверхности

Поверхность – непрерывное двухпараметрическое множество точек.

Поверхность считается заданной, если относительно любой точки пространства можно однозначно и сколь угодно точно решить вопрос о ее принадлежности к данной поверхности.

Поверхность может быть математически представлена в явном виде:

В неявном виде:

В параметрической форме:

В векторной форме:

В матричной форме и других видах задания поверхности.

Простейший алгоритм построения поверхности, по исходному точечному базису заключается в обобщении метода Лагранжа для нахождения полинома, который будет интегрировать все заданные точки.

Этот полином имеет вид:

Недостаток данного способа:

При достаточно больших значениях p и q построенных таким образом поверхности, появляется нежелательная осцилляция, с которой борются уменьшением количества ячеек (точек), описывающим данный полином, это влечет за собой понижение степени полинома, описывающее данную поверхность.

Уравнение полиноминальной поверхности в форме Безье имеет вид:

r_ij – вершина характерного многогранника

m – число вершин по направлению движения v

n - число вершин по направлению движения u

i – текущая вершина по направлению u

j – текущая вершина по направлению v.

Пусть кривая l представлена уравнением:

Непрерывно движется в трехмерном пространстве в направлении и изменяет свою форму в процессе этого движения.

В результате получим поверхность представляющую собой каркас из l₁, l₂, l₃ … кривых.

Для вывода уравнения поверхности можно обобщить способ задания кривой путем установления зависимостей коэффициентов a₀, a₁, a₂, a₃ от второго параметра v.

Тогда уравнение поверхности будет:

Или в другом виде: