Многочлены Безье

Кубический сплайн

Введение

Методы аппроксимации сплайнами

«сплайн» - (фран. – «гибкая линейка»)

В общем виде кусочно-полиноминальный функции представляется

следующем образом:

Функция представляет собой многочлен со степенью не выше m.

Условие неразрывности в узлах задается вторым уравнением, у которого j является производной от функции p(x).

При условии когда n = m возникает максимальное количество ограничений, при этом существует особый случай когда n = m = 3 и этот случай получил впервые название (термин) сплайн.

Простым сплайном называется кусочно-полиноминальная функция, задаваемая системой уравнений при n = m.

Линейный, квадратичный, кубический сплайн отличается от кусочно-полиноминальной функции при n =1, 2, 3 соответственно.

Пусть на отрезке [a,b] задана сетка:

a ≤ x₁ ≤…≤ x_n ≤ b

a ≤ y₁ ≤…≤ y_n ≤ b

Аппроксимируем на каждом отрезке I данной сетки кубический полином вида:

При этом необходимо чтобы выполнить следующее условие:

+2 условие, которое должно выполняться

Тогда в аналитическом виде можно записать:

Вычисляется методом прогонки.

Задаются в параметрической форме в следующем виде:

Пусть дан набор точек:

Данный набор точек называется ориентирами, тогда соответствующий многочлен Безье будет иметь вид:

Тогда в матричном виде:

, где

При числе m > 5 для нахождения членов Безье более эффективна схема Горнера.

Свойства кривых Безье:

1. Кривая, порождаемая многогранником Безье, обладает следующими свойством:

Любую дугу входящую в нее также можно породить с помощью многочленов Безье

2. При кривая Безье к многограннику