Поворот

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В НОВЫЕ КООРДИНАТЫ

ДВУМЕРНЫЙ АЛГОРИТМ

РАБОТА С ПЛОСКОСТЬЮ

Рассмотрим систему уравнений:

x`, y` - новые координаты

Эти уравнения можно интерпретировать двояким образом:

1. Все точки на плоскости XY перемещаются вправо на расстояние a - см. рис.2.1(а);

2. Координатные оси x и y перемещаются влево на расстояние a - см. рис.2.1(б).

O O` O

(a) (б)

Рис. 2.1. (а) - передвижение точки ; (б) - передвижение осей координат

Этот простой пример иллюстрирует принцип, применимый и в более сложных ситуациях. Мы и далее будем рассматривать системы уравнений, обычно записываемых в виде произведений матриц, интерпретируя их как преобразования всех точек в фиксированной системе координат. Однако та же самая система уравнений может интерпретироваться и как изменение системы координат.

Пусть необходимо повернуть точку P(x, y) вокруг начала координат O на угол . Изображение новой точки на рис. 2.2. обозначим через P’(x’, y’). Всегда существуют четыре числа a, b, c, d, такие, что новые координаты могут быть вычислены по значениям старых координат x и y из следующей системы уравнений:

(2.1)

Для получения значений a, b, c, d рассмотрим вначале точку (x, y) = (1, 0). Полагая x =1 и y =0 в уравнении (2.1), получим

x’ = a

y’ = c

Но в этом простом случае, как это видно из рис. 2.3(а), значения x’ и y’ равны соответственно Cos и Sin . Тогда будем иметь

Аналогичным образом из рис. 2.3(б) следует

Тогда вместо системы уравнений (2.1) можем записать

(2.2)

Система уравнений (2.2) описывает поворот вокруг точки O - начала системы координат. Но часто это не то, что нам нужно. Если требуется выполнить поворот относительно заданной точки , то в этих уравнениях можно заменить: x - на , y - на , x’ - на и y’ - на (сдвигаем систему координат) .

Система уравнений, которая описывает поворот точки вокруг точки :

(2.3)

Система уравнений (2.3) неудобна для реализации на PC. Применяем матричную запись .

МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ

Система уравнений (2.2) может быть записана в виде одного матричного уравнения

(2.4)

или с использованием вектора-столбца

(2.5)

В книгах по машинной графике запись с вектором-строкой (2.4) встречается чаще, чем с вектором-столбцом (2.5). Здесь также будет применяться запись типа (2.4). В такой записи i-я строка квадратной матрицы всегда является отображением i-го единичного вектора (здесь i=1,2). Вполне возможно записать в матричной форме систему уравнений (2.3)

(2.6)

Однако первая часть этого уравнения не является чисто матричным произведением. В более сложных ситуациях, когда поворот совмещается с другими преобразованиями, было бы более удобно иметь единое матричное произведение для каждого элементарного преобразования. На первый взгляд это кажется невозможным, если преобразование включает операцию переноса. Но, как мы увидим ниже, с помощью матрицы преобразования размером это вполне реально. Начнем с простого переноса. Пусть точка P(x, y) переносится в точку P’(x’, y’), где

x’ = x + a

y’ = y + b (2.7)

Эти уравнения можно переписать в виде

Но с учетом будущих потребностей это уравнение лучше переписать в следующей форме

(2.8)

(мы работаем в плоскости, поэтому координата Z всегда неизменна)

Легко проверить, что уравнения (2.7) и (2.8) эквивалентны. Такую запись принято называть записью в системе “однородных координат”. Запись каждого преобразования в форме произведения матриц позволяет совмещать несколько преобразований в одном. Чтобы показать такое совмещение преобразований, объединим поворот с двумя переносами. Поворот на угол вокруг начала координат O был описан уравнением (2.4).

Заменим это уравнение следующим:

(2.9)

Теперь выведем новую версию уравнений (2.6) для описания поворота на угол вокруг точки ; это уравнение может быть выражено формулой

(2.10)

где через R обозначена матрица размером 3 х 3. Для нахождения этой матрицы R будем считать, что преобразование состоит из трех шагов с промежуточными точками (u1, v1) и (u2, v2).

1. Преобразование для переноса точки в начало координат O

[u1 v1 1] = [x y 1]T’

где