Поворот

Перенос

Перенос и повороты в трехмерном пространстве

Работа в трёхмерном пространстве.

Если поворот от i к j на 90^о соответствует повороту правого винта, то k совпадает с направлением перемещения винта .

Любой вектор может быть представлен:

v = xi + yj + zk

v = [x,y,z] ,

Скалярное произведение: a * b = |a| * |b| * Cos j

u = [u₁,u₂,u₃]

v = [v₁,v₂,v₃]

u*v = u₁*v₁+ u₂*v₂+ u₃*v₃

u*v = (u₁i+u₂j+u₃k)(v₁i+v₂j+v₃k)

С использованием i,j,k.

(2.1)

a*b - векторное произведение

(2.2)

a*b = (a₁i+a₂j+a₃k)(b₁i+b₂j+b₃k)

a*b = (a₂b₃-a₃b₂)i+(a₃b₁-a₁b₃)j+(a₁b₂-a₂b₁)k

a*b = i+j+k

a*b =

P(x,y,z) P’(x’,y’,z’)

-перенос в трехмерном пространстве

a_i = const

[x’,y’,z’,1] = [x,y,z,1]T , T= (3.1)

Т – матрица переноса

1,2,3 стр. матр. Т - отображение бесконечно удаленной точки

[a₁,a₂,a₃,1] - отображение начала координат

Cos a = C

Sin a = S

[x’,y’,z’] = [x,y,z]R_z

Матрица поворота вокруг оси Oz :

R_z =

Матрица поворота вокруг оси Ox :

R_x =

Матрица поворота вокруг оси Oy :

R_y =

Матрица переноса начала координат в какую-то точку А

T^-1 =

R_x^-1 = (3.4)

R_y^-1 = (3.5)

R_z^-1 = (3.6)

Матрица поворота вокруг линии, проходящей через начало координат (поворот вокруг вектора v с началом в точке O)

r = |v| =

q =

v₁ = r Sin j Cos q

v₂ = r Sin j Sin q

v₃ = r Cos j

[x’,y’,z’] = [z,y,z] R_z^-1 - совпадает с положительным направлением оси Oz

Ось x’ имеет положительное направление вектора (v₁,v₂,0)

[x’’,y’’,z’’] = [z’,y’,z’] R_y^-1

[x’’’,y’’’,z’’’] = [z’’,y’’,z’’] R_v^-1

R_v =

[x’’’,y’’’,z’’’] = [x,y,z] R_z^-1 R_y^-1 R_x^-1

[x*,y*,z*] = [x’’’,y’’’,z’’’] R_y R_z - возвращение назад координатной оси

[x*,y*,z*] = [x,y,z] R_z^-1 R_y^-1 R_v R_y R_z

R_z^-1 =

R_y^-1 =

R_v =

R_y =

R_z =

R_z^-1 R_y^-1 R_v R_y R_z = R R = (3.7)

Точка A(a₁,a₂,a₃)

1.

T^-1 =

2.

R^* =

3.

T =

Матрица обобщенного поворота R_GEN = T^-1 R^* T

[x*,y*,z*,1] = [x,y,z,1] R_GEN (3.8)