Исследование области оптимума представленной полиномом второй степени

В результате выполнения плана второго порядка получают полином второй степени, адекватно описывающий область оптимума:

(*)

Уравнение второй степени в таком виде анализировать сложно, поэтому путём преобразований его приводят к канонической форме. Для этого выбирают новую систему координат путём параллельного переноса старой системы в новое начало и поворачивают оси относительно этого начала. Стандартный вид канонического уравнения

Здесь – уровень отклика; - уровень отклика в новой системе координат; - канонические переменные, являющиеся линейными функциями факторов; - коэффициенты уравнения регрессии.

Первым этапом канонического преобразования является перенос начала координат в особую точку – центр поверхности отклика. Для нахождения этой точки решают систему уравнений, каждое из которых получается дифференцированием исходного уравнения (*) по каждой независимой переменной

- система из k линейных уравнений.

Если определитель этой системы уравнений равен нулю, то поверхность отклика не имеет центра. В этом случае начало координат не переносят или переносят в точку с наилучшим значением (ближе к оптимальному) уровня отклика.

Если определитель этой системы уравнений неравен нулю, то решая эту систему, находят координаты центра поверхности в старой системе координат. При параллельном переносе исчезают члены, содержащие линейные эффекты, и изменяется свободный член. Коэффициенты при вторых степенях и взаимодействиях инвариантны относительно переноса.

Подставляя найденные значения координат центра s в исходное уравнение (*) определяют значение в начале новой системе координат. После параллельного переноса координатных осей исходное уравнение (*) принимает вид

,

где - новые координаты.

Вторым этапом канонического преобразования является поворот координатных осей в новом начале координат до совмещения их с главными осями геометрической поверхности, соответствующей изучаемой функции отклика. При повороте координатных осей исчезают члены с коэффициентами взаимодействия и изменяются коэффициенты при вторых степенях. Свободный член инвариантен относительно поворота координатных осей. В результате получают уравнение в канонической форме

Для определения коэффициентов необходимо решить характеристическое уравнение

=0

Корни этого уравнения и будут искомыми коэффициентами регрессии .