Оптимизация функции отклика

Пример

Привести к канонической форме уравнение, полученное в результате реализации плана второго порядка:

(*)

I – этап. ;

. Поверхность имеет центр. Координаты центра

;

Подставляя и в уравнение (*) находим . После параллельного переноса координатных осей уравнение примет вид

II – этап. Решаем следующее характеристическое уравнение:

; ;

Правильность вычислений проверяется сравнением сумм коэффициентов при квадратичных членах .

При после канонического преобразования уравнения регрессии легко определить к какому типу относится геометрический образ изучаемой функции отклика. При k=2 этот геометрический образ представляется в виде контурных линий. Каждая линия является проекцией сечения поверхности отклика плоскостью, параллельной плоскости чертежа при значениях параметра оптимизации Такие линии называют линиями равного отклика.

Если и имеют одинаковые знаки, то это эллипсы (экстремум в центре s). Если , то экстремум – максимум то минимум. Эллипс вытянут по той оси, которой соответствует меньший по абсолютной величине коэффициент в каноническом уравнении.

Если и – имеют разные знаки то линии уровня – гиперболы. Они соответствуют поверхности отклика типа минимакса. Параметр оптимизации увеличивается при движении из центра фигуры по одной оси и уменьшается при движении по другой оси. Выбирается направление движения в зависимости от того, что интересует исследователя – максимум или минимум.

Если коэффициент - параллельные линии соответствуют поверхности отклика представляющей собой стационарное возвышение. Под определение центра подходит любая точка на оси X₂.

Параболы соответствуют поверхности отклика типа нарастающего возвышения. При коэффициенте центр фигуры находится в бесконечности. Начало координат помещают в точку C вблизи центра эксперимента на оси X₂ и получают уравнение параболы

- коэффициент, определяющий скорость увеличения параметра оптимизации по оси X₂.

При числе факторов k=0:

1. Эллипсоид вращения экстремум в центре если все имеют одинаковые знаки.

2. Если два коэффициента имеют одинаковые знаки, а третий близок к нулю, то поверхность отклика – эллиптический цилиндр. В этом случае ось соответствующая незначимому коэффициенту является линией максимума.

3. Если один коэффициент близок к нулю область оптимума может также характеризоваться эллиптическим параболоидом, центр фигуры на бесконечности.

4. Если знак одного из коэффициентов противоположен знакам двух других, то область оптимума характеризуется одно или двухполостным гиперболоидом.

5. Когда два коэффициента близки нулю, область оптимума может характеризоваться серией параллельных плоскостей одна из которых соответствует наибольшей величине параметра оптимизации.

При k > 3 наглядное представление о геометрическом образе функции отклика становится невозможным. Если поверхность отклика имеет явный экстремум, то решение экстремальной задачи заканчивают после приведения уравнения к канонической форме. Если поверхность типа минимакса или возрастающего гребня то приходится искать условный экстремум.

Большой класс задач связан с нахождением экстремальных значений функции отклика. Во-первых это даёт представление об наиболее эффективных условиях эксплуатации технических устройств, во вторых позволяет назначить пределы изменения параметров. Приближённое математическое описание объекта исследований по планам ПФЭ или ДФЭ в виде линейной модели

позволяет находить область оптимума путём движения с помощью однофакторного эксперимента или по градиенту, так как коэффициенты b_i являются оценками частных производных, т.е. компонентами градиента функции отклика .

e₁,e₂,…….e_k – орты факторного пространства.

Для того, чтобы в много факторном пространстве {x_i} двигаться из центра плана по градиенту к экстремуму функции нужно прибавить к координатам центральной точки величины .

Величина и знак q определяют длину шага и направление по градиенту или антиградиенту. Эффективность крутого восхождения зависит от ориентации осей в факторном пространстве. Расчёт движения к оптимуму производят следующим образом.

1. Один из значимых факторов принимают за базовый и для него находят произведение , которое представляет собой оценку ,

- область вариации переменной.

2. Для этого фактора выбирают первый шаг движения к оптимуму Обычно . Выбранный множитель позволяет рассчитать для всех остальных факторов шаги движения к оптимуму.

Движение к оптимуму прекращают, если значения хотя бы одного из факторов или параметров оптимизации вышли за допустимые границы или достигнута область экстремума – такая окрестность оптимума в которой линейные коэффициенты регрессии становятся незначимыми . При достижении стационарной области ищут новую математическую модель, достраивая реплики до ПФЭ или переходя к планам второго порядка.

Рис. Поиск экстремального значения. Траектория A, C, D – по методу однофакторного эксперимента. Траектория A, B – по методу крутого восхождения.

Далее приведены примеры оптимизации методом крутого восхождения.