Статистическая обработка эксперимента

Статистическую обработку результатов законченного эксперимента начинают с нахождения дисперсии воспроизводимости , затем проверяют значимость отдельных коэффициентов регрессионной модели. Далее определяют оценку дисперсии адекватности и проверяют адекватность всего уравнения регрессии.

Для нахождения оценок математического ожидания и дисперсии проводят серии параллельных опытов во всех или в некоторых точках факторного производства, задаваемого матрицей планирования Х.

Пусть проведена серия из параллельных опытов, где u =1….N – номер строки плана. Если для всех строк матрицы Х , то результаты этих параллельных опытов можно представить матрицей

При это не матрица. Элементы матрицы Y расположенные в строках позволяют вычислить построчные средние и оценки дисперсий:

При одинаковых условиях эксперимента увеличение числа повторных опытов повышает надежность этих оценок. Иногда числа повторных опытов называют весами измерений. Из этих весов можно составить диагональную матрицу:

Если экспериментальные данные представлены матрицами X, P, , то для расчёта коэффициентов модели можно воспользоваться формулой:

В статистике при вычислении выборочной дисперсии используют понятие числа степеней свободы.

Число степеней свободы определяется разностью между числом различных опытов, по которому оценивалась дисперсия и числом констант, найденных по тем же опытам. Для построчных дисперсий число степеней свободы , так как по этим же - опытам находилось построчное среднее, которое входит в формулу для дисперсии. Для оценки дисперсии воспроизводимости, которая характеризует ошибку всего эксперимента, используют взвешенное среднее построчных дисперсий.

,

где - число степеней свободы всего эксперимента.

Эта дисперсия показывает, насколько хорошо воспроизводятся значения отклика в случае постановки нескольких опытов при неизменных значениях факторов, иначе, точность эксперимента.

Для . Здесь .

В соответствии с предпосылками регрессионного анализа пользоваться построчными средними для определения коэффициентов полинома можно только если построчные дисперсии являются однородными, Т.е. незначительно различаются между собой. При равномерном дублировании опытов однородность ряда построчных дисперсий определяется по критерию Кохрена.

Эту экспериментальную статистику сравнивают с табличным значением при степенях свободы и уровне значимости

Если , то ряд дисперсий считается однородным.

При ортогональном планировании и наличии n повторных опытов формулы для оценок дисперсии коэффициентов регрессионной модели имеют вид:

Доверительный интервал для каждого i-го коэффициента регрессии определяется по критерию Стьюдента, имеет ширину

Коэффициент считается значимым, если .

Чем меньше доверительный интервал при заданном значении уровня значимости, тем с большей надежностью определяется значимость коэффициента регрессии. При заданном плане эксперимента уменьшать доверительный интервал можно за счет увеличения числа повторных опытов.

В качестве меры адекватности уравнения регрессии применяется дисперсия адекватности.

,

где - число степеней свободы; L - число коэффициентов в уравнении регрессии после отбрасывания незначимых.

Все три дисперсии связаны между собой соотношением . Здесь дисперсия остатка

Для адекватной модели оценка дисперсии воспроизводимости и оценка адекватности должны быть однородны. Однородность проверяется по критерию Фишера:

Если это неравенство выполняется, то регрессия адекватно воспроизводит результаты эксперимента.