Простейший план первого порядка

Основной вопрос в планировании эксперимента: «как построить матрицу Х, чтобы матрица С легко обращалась, а коэффициенты модели b определялись бы независимо друг от друга» ? Оба требования выполняются, если матрица С будет диагональной.

тогда

Система уравнений распадается на 1+m независимых уравнений вида :

т.к. , то

Итак, необходимо построить матрицу Х (планировать эксперимент) так, чтобы матрица С удовлетворяла условию:

, или т.е. любое произведение различных 2-х столбцов в матрице Х должно быть равно нулю. Это условие ортогональности 2-х векторов.

Перепишем матрицу Х (матрица планирования) в соответствии с введенными обозначениями:

(по правилу скалярного произведения ортогональных векторов). Т.к то сумма элементов любого столбца (кроме первого), матрицы Х должна быть равна нулю. Это означает, что при четном числе уровней, на которых закрепляется фактор , эти уровни должны быть симметричны относительно точки . Если число уровней нечетно, то должна быть использована и центральная точка.

Очевидно, что минимальное число уровней два -1 и 1, т.е. если каждый из n факторов варьируется на двух уровнях, то полное число всех возможных сочетаний или число опытов: . Такой план называется полным факторным экспериментом (ПФЭ).

Пример 1.

Пусть число факторов n = 2. Число строк в матрице Х

Здесь число различных столбцов равно числу строк. Столбцы 0, 4, 5 – неразличимы. Столбцы 1, 2 – образуют план эксперимента. Сумма элементов в каждом столбце равна нулю. Этот план первого порядка не позволяет определить коэффициенты при квадратах факторов. Эти коэффициенты входят в коэффициент . Для определения коэффициентов необходимы другие планы, которые называются планами второго порядка.

С помощью полнофакторного эксперимента (ПФЭ) можно определить все коэффициенты полинома при линейных членах и всех возможных взаимодействях факторов, включая взаимодействия максимального порядка, т.е. взаимодействие вида: . При этом аппроксимирующая поверхность пройдет через все N точек. Для плана ПФЭ порядка характерно: . Поэтому формула для определения коэффициентов приобретает простой вид:

Дробный факторный эксперимент (ДФЭ)

Планы полнофакторного эксперимента очень эффективны, но с ростом n объём вычислений резко возрастает. В ряде случаев нужно определить не все коэффициенты регрессии, а лишь только часть, например, при факторах . ПФЭ в этом случае несет избыточную информацию. В подобных ситуациях переходят к планам, представляющим собой части ПФЭ, например 1/2, 1/4 полного плана . Такие (урезанные) планы называются дробными (ДФЭ).

Так, например, план для 3 факторов, содержащий только 4 опыта, называют ДФЭ . План для 5 факторов, содержащий 8 опытов, называется ДФЭ .

План ДФЭ строится также , как план ПФЭ для меньшего числа факторов, а оставшиеся факторы варьируются (представляются) как произведение факторов, включенных в первую группу. При этом, в матрице планирования возникают одинаковые столбцы, т.е. соответствующие коэффициенты становятся неразличимыми. Можно судить лишь об их совместимой величине.План ДФЭ

Факторы , будем варьировать также, как в ПФЭ . Фактор = - как генерирующее соотношение.

Заполнив столбцы для взаимодействия факторов, обнаружим в таблице четыре пары одинаковых столбцов. Это означает, что неотличим от ,

- от , - от , - от . Это не представляет опасности, если коэффициенты двойного и тройного взаимодействия незначимы. Иначе нужно пользоваться ПФЭ.

Обычно дробными планами пользуются, когда n > 5, т.к. там удается смешивать коэффициенты при факторных и двойных взаимодействиях с коэффициентами при тройных и более высоких взаимодействиях, которые обычно влияют слабо.

В качестве основы построения дробной реплики для r – факторов используется такой минимальный полный план для n факторов, что выполняется неравенство , где n столбцов соответствуют полному плану для n факторов.