Свойства преобразования Лапласа

Сущность операторного метода анализа цепей

Тема 8. Операторній метод аналізу перехідних процесів.

Для решения линейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений в теории электрических цепей нашел ши­рокое применение так называемый операторный метод, основан­ный на преобразованиях Лапласа.

Сущность этого метода заключается в том, что функции веще­ственного переменного t преобразуются в функции комплексного переменного ρ = σ+ƒω таким образом, чтобы вместо интегро-дифференциальных уравнений получить алгебраические уравнения. После решения этих уравнений производят обратный переход к функции вещественного переменного t. Это значительно упро­щает решение интегро-дифференциальных уравнений.

Переход от функции вещественного переменного t к функциям комплексного переменного р осуществляется с помощью прямого преобразования Лапласа:

Обратный переход от функций комплексного переменного ρ к функциям вещественного переменного t осуществляют на осно­вании обратного преобразования Лапласа:

Функцию ƒ(t) называют оригиналом, а функцию F(p)—изо­бражением оригинала по Лапласу или просто изображением.

1) Свойство линейности.

Если , то

т. е. изображение суммы функций равно сумме изображений каж­дой из функций в отдельности.

2). Дифференцирование оригинала. Если , то при нулевых начальных условиях

n - кратному дифференцированию оригинала соответствует п - кратное умножение изображения на оператор р.

3). Интегрирование оригинала. Если f(t) F(p), то

т. е. операции интегрирования оригинала в пределах от 0 до t со­ответствует деление его изображения на оператор р.

САМОСТОЯТЕЛЬНО

4).Теорема запаздывания.

5). Теорема смещения.

6). Умножение изображений (теорема свертывания).

7). Теорема разложения.

Теорема разложения в сочетании с другими свойствами преобразования Лапласа дает возможность составить таблицы изо­бражений и оригиналов, облегчающие и ускоряющие нахождение оригиналов по изображениям. Некоторые наиболее часто встречающиеся операторные соответствия приведены в таблице. (Карташов, с.380

Изображение	Оригинал
	n – целое положительное число