Типовые (элементарные) воздействия.

Принцип наложения является одним из важнейших свойств линейных цепей и систем. Он является следствием линейности их уравнений. Этот принцип позволяёт искать общее решение линейных уравнений как линейную комбинацию, т. е. наложение более простых частных решений. В применении к цепям он формулируется так: реакция линейной цепи на сумму воздействий равна сумме ее реакций на каждое из воздействий в отдельности.

В случае, когда на линейную цепь действует сигнал сложной формы и требуется найти ее реакцию как временную функцию, т. е. определить характер переходного процесса или сигнала на выходе цепи, классический временной метод малоэффективен. Для решения подобных задач используется метод интеграла свертки, основанный на принципе наложения.

Сущность этого метода состоит в том, что входной сигнал сложной формы представляют в виде суммы элементарных аналитически однотипных функций х_к(t), т.е. так называемых типовых сигналов:

(1)

Если найти реакцию исследуемой линейной цепи y_k(t) на воздействие x_k(t), то на основании принципа наложения можно утверждать, что реакция цепи y(t) на заданное воздействие х(t) равна сумме реакций y_k(t) т. е.

(2)

Таким образом, полное решение задачи распадается на два этапа: первый — определение реакции цепи на заданное простое воздействие x_k(t), и второй—суммирование или наложение частных решений y_k(t).

При исследовании динамических свойств линейных цепей и систем в качестве типовых элементарных воздействий обычно используется единичная ступенчатая функция 1(t) и дельта-функция .

Единичная ступенчатая функция 1(t), называемая также функцией Хевисайда или функцией включения имеет значения:

и обычно неопределенна при t=0.

График функции имеет вид

Возникновение ступенчатых сигналов весьма типично. В теории цепей они соответствуют, например, включению постоянного напряжения на вход устройства при замыкании ключа.

С помощью единичных ступенчатых функций можно представить большое число разнообразных сигналов. Например, прямоугольный импульс можно описать разностью

Дельта-функция (t), или функция Дирака, с точки зрения инженера, желающего видеть (t)-функцию как сигнал в физической системе, представляет собой импульс с бесконечно большой амплитудой и бесконечно малой длительностью, площадь которого конечна и равна единице. В качестве примера представим импульс сколь угодно малой длительности Δt, амплитуда которого . В пределе, когда Δt→0, его амплитуда U_m → ∞ , но площадь остается постоянной и равна 1.

Такое определение (t) -функции, несмотря на его простоту в наглядность, не является строгим в математическом отношении. Тем не менее оно достаточно для большинства приложений, встречающихся в теории электрорадиоцепей.

Дельта-функция, как и функция 1(t), относится к специальному типу функций, имеющих определенные свойства и называемых обобщенными функциями.

Для (t) -функции справедливы соотношения:

Между единичной функцией и (t) -функцией существует тесная связь:

Таким образом, (t) -функция равна первой производной единичной ступенчатой функции.

Импульсные воздействия, близкие к (t) -функции, встречаются достаточно часто на практике, например удары в механических системах, броски э. д. с. самоиндукции при коммутациях в электрических цепях и др.