Свободный процесс в цепи второго порядка.

Тема 6. Перехідні процеси в лінійних електричних колах другого порядку

При подключении источника постоянного напряжения

В неразветвленных цепях первого порядка

Переходные процессы

Методику анализа переходных процессов, возникающих в неразветвленной цепи пер­вого порядка при подключении к ней источ­ника постоянного напряжения при нулевых начальных условиях, рассмотрим на примере цепи rL (рис.7).

Рис.7.

Решение дифуравнения будет иметь вид

Напряжение на сопротивлении r изменяется по аналогичному закону

а напряжение на индуктивности L — по закону

Покажем кривые изменения i, , , и ( рис.8).

Рис.8.

Свободные напряжения и токи в цепи, состоящей из последовательно включенных элементов r, L и С, могут возникнуть, например, при подключении конденсатора С, предварительно заряженного до величины источника э. д. с. Е, к цепи с последовательным соединением элементов r и L (рис. 2.1)

Рис.2.1

Качественный анализ процессов показывает, что до коммутации, когда ключ был в левом положении, емкость С была заряжена до напряжения Е, токи во всех участках цепи отсутствовали. После коммутации, когда ключ находится в правом положении, емкость разряжается через сопротивление r и индуктивность L. После разряда емкости напряжение на ней будет равно нулю. Наличие индуктивности вносит особенности в переходной процесс. Ток в цепи второго порядка в начальный момент времени после коммутации будет равен нулю, и в дальнейшем будет плавно возрастать до своего максимального значения. При этом индуктивность будет запасать энергию в виде энергии магнитного поля. На сопротивлении r энергия будет расходоваться. В некоторый момент времени емкость полностью разрядится. К этому моменту времени на сопротивлении будет израсходована некоторая часть первоначально запасенной контуром энергии. Остальная энергия будет запасена в магнитном поле индуктивности за счет протекающего электрического тока. В этот момент времени нарастание тока прекратится.

В дальнейшем протекание тока в том же направлении будет обусловлено наличием Э.Д.С. самоиндукции, которая будет препятствовать изменению тока. Протекание тока в прежнем направлении приведет к перезаряду емкости. С ростом напряжения на емкости ток в цепи будет уменьшаться до нуля, и вся оставшаяся в цепи энергия снова будет запасена в емкости. При этом также будет потеряна часть энергии на сопротивлении.

В результате емкость будет вновь заряжена, причем полярность этого напряжения изменится на противоположную. В дальнейшем процесс будет повторяться вновь и вновь до тех пор, пока весь первоначальный запас энергии не будет израсходован. Таким образом могут иметь место затухающие колебания.

Будем иметь

(2.5)

Обычно вводят обозначения: - коэффициент затухания; - резонансная частота.

При этом уравнение (2.5) будет иметь вид

(2.6)

Характеристическое уравнение, соответствующее выражению (2.6)

имеет корни

(2.7)

а решение уравнения (2.6) имеет вид

(2.8)

Для определения постоянных интегрирования воспользуемся начальными условиями: u_C(0)=Е и i(0)=0.

будем иметь:

,

Подставив это в формулу (2.8), получим

(2.11)