Свободные напряжения и токи в неразветвленных цепях первого порядка

Методику анализа свободных напряжений и токов в неразветв­ленных цепях первого порядка рассмотрим на примере цепи, по­казанной на рис. 3. При размыкании ключа К в изолированном

Рис.3.

от внешних источников электрической энергии контуре rL за счет энергии, запасенной в магнитном поле эле­мента L, возникнут свободные напряжения и ток.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа для рассматри­ваемого контура можно записать

Учитывая, чтои , получим (5)

Решение этого однородного дифференциального уравнения имеет вид

. (6)

Из характеристического уравнения

найдем

где τ_ц=L/r — величина, имеющая размерность времени, называе­мая постоянной времени цепи. Подставив p₁в формулу (6), получим

(7)

Постоянную интегрирования a_i найдем из начальных условий, воспользовавшись первым законом коммутации:

.

Подставив это в выражение (7), при t=0 получим

.

При этом окончательное решение уравнения (5) будет иметь вид

Из полученного выражения видно, что свободный ток в рас­сматриваемой цепи убывает с течением времени по экспоненци­альному закону. Покажем график этого тока (рис. 4).

При , ток в цепи .

Рис.4 Рис.5

Поэтому постоянную времени цепи τ_ц можно определить как промежуток времени, по истечении которого экспоненциально убы­вающая величина уменьшается в раза. Она определяет длительность переходного процесса. Чем больше τ_ц, тем больше длится переходный процесс (рис.5).

Теоретически переходный процесс в рас­сматриваемой цепи длится бесконечно долго. Однако его можно считать практически закон­ченным по истечении времени , когда , т. е. когда значения тока будут составлять 50,7% его начального значения.