3.3.Изображение отношений между понятиями с помощью кругов Эйлера.
3.1. Как и всякая другая наука, логика классифицирует объекты, которые она изучает, иначе говоря, разделяет их на виды. Эти разделения разнообразны, однако они не произвольны. Каждое из них строится на определённом основании и представляет собой достаточно самостоятельную операцию. В качестве основания разделения на виды всегда выступает некое свойство изучаемого объекта (в нашем случае это понятие), которое, с одной стороны, способно варьироваться, т.е. как-то меняться от объекта к объекту, с другой – оно должно быть существенным с точки зрения данной науки.
Таким образом, изучая принятую в логической теории классификацию понятий, мы одновременно, на что стоит обратить особое внимание, расширяем свои знания о формальных аспектах понятия вообще. Знание об этих аспектах в виде признаков входит в состав содержания понятия «понятие». Здесь же можно отметить, что классификация понятий в других науках, например в психологии, отличается от принятой в логике, поскольку для этих наук важны другие свойства того же самого объекта, т.е. понятия.
В логике выделяют следующие основные виды понятий.
1.В зависимости от количества слов, посредством которых обозначаются понятия, они разделяются на простые, сложные и описательные. Понятие называется простым, если оно обозначается одним словом, например, «дом», «крутизна», «университет». Сложным – если двумя («красный мак», «сложное дело», «столица государства»). Когда же этих слов более двух, оно называется описательным, например, «история средних веков», «человек в черной шляпе, стоящий на той стороне улицы».
Такое разделение понятий, кажущееся на первый взгляд поверхностным, на самом деле выполняет в логике достаточно серьёзную функцию. Оно хорошо показывает связь некоторых грамматических построений с определённой формой мышления. Понятие, как мы видим, может выражаться либо одним словом, либо несколькими. Однако в последнем случае – это не просто слова, поставленные рядом, а сочетание слов, образующее некоторое единство. Слова здесь, можно сказать, определённым образом дополняют друг друга. Так, словосочетание «красный мак» выражает одно понятие, а слова «красный» и «мак» _два разных понятия. Кроме того, понятия всегда выражаются такими словами, несмотря на их количество, которые, хотя и связаны между собой, образуют единство, но никогда не являются предложением или последовательностью предложений. Например, словосочетание «мак красный», если оно употреблено в смысле «мак является красным», образует предложение. В этом случае оно уже не может выражать понятие, а выражает другую, отличную от него форму мышления, а именно – суждение. Последовательность предложений или даже одно, но сложное предложение, могут выражать умозаключение, но не понятие.
2. В зависимости от количественной характеристики объема понятия делятся на единичные, общие и пустые.
Единичными называют те понятия, объем которых равен единице. Например, «столица Украины», «естественный спутник Земли», «автор романа «Война и мир».
Общимиявляются понятия, объем которых составляют два и более, вплоть до бесконечного числа, объектов, к примеру, «дом», «тяжесть», «зелёное поле». Слова, обозначающие общие понятия, могут при этом употребляться как в единственном числе, так и во множественном. Так, слово «книга» и слово «книги» обозначают одно и то же общее понятие.
Пустыми являются понятия, объемы которых равны нулю, их ещё называют нулевыми понятиями. Эти понятия имеют содержание в виде совокупности признаков, которые мы можем мыслить, но в реальном мире такому сочетанию признаков ничего не соответствует, нет соответствующих объектов. К такого рода понятиям относятся «русалка», «теплород», «квадратный круг».
3. Регистрирующими, или иначе исчислимыми, являются понятия, объём которых составляет определённое число объектов, поддающихся реальному исчислению, счету, именованию. К ним относятся такие понятия, как «время суток», «студент такой-то конкретной группы», «пьеса А.П. Чехова».
К нерегистрирующим, или неисчислимым, относятся те понятия, объёмы которых напротив не поддаются точному исчислению и в этом смысле оказываются неопределёнными. Примерами таких понятий могут служить «человек», «цвет», «форма», «качество», «лист».
Принято считать, что это разделение на регистрирующие и нерегистрирующие касается только общих понятий, но в принципе ничто не мешает относить единичные понятия к регистрирующим, а пустые – к нерегистрирующим.
4. Собирательными понятиями являются такие понятия, элементы объёма которых сами представляют собой множества, но каждое из этих множеств мыслится при этом как единое целое. Иначе говоря, элементами объёма таких понятий являются множества, или совокупности, каких-то однородных элементов. К собирательным понятиям относятся «лес», «группа», «правительство», «коллектив сотрудников». Такие понятия могут быть как единичными, так и общими или даже пустыми. Например, «правительство» _общее, собирательное понятие, а «ныне действующее правительство Украины» _единичное.
Логическая ошибка, которая нередко совершается при использовании собирательных понятий, заключается в том, что признаки, входящие в состав содержания такого понятия, механически переносят на те объекты, из которых состоят элементы объёма этого понятия. В результате происходит смешение понятий. Например, объём понятия «лес» образует множество всех лесных массивов, где бы они ни находились, но те свойства, которыми обладает лес в целом, не являются свойствами каждого дерева, из которых состоит лес. Если мы скажем: «Этот лес зелёный», это отнюдь не означает, что каждое дерево в этом лесу зелёное. Общие признаки у соответствующих понятий могут быть, но в целом содержание у них разное, а объёмы не только не совпадают, но и даже не пересекаются.
Остальные понятия являются несобирательными, или их еще иногда называют разделительными.
Теперь мы рассмотрим несколько разграничений понятий, основаниями которых служат определенные особенности их содержания, а не объема, как это было в трех предыдущих случаях.
5. Конкретными называются понятия, отражающие относящиеся к ним объекты в целом. К этим понятиям относятся: «дом», «пушистый зверь», «маленькая ночная серенада» и другие. Они могут быть общими, единичными и даже пустыми.
Абстрактными (противоположными конкретным) принято считать понятия, отображающие не объекты в целом, а отдельные их свойства или отношения. Правда, эти понятия могут представлять указанные свойства и отношения в таком виде, как будто они существуют самостоятельно и являются своего рода предметами, например: «тяжесть», «стоимость», «любовь», «мудрость».
6. Положительными в логике называют понятия, содержание которых указывает на наличие у относящихся к ним объектов определённых свойств.
Отрицательными называются понятия, которые, напротив, указывают на отсутствие у относящихся к ним объектов определённых свойств, отрицают их наличие.
Характеристикам положительного и отрицательного в данном случае не придаётся никакого оценочного или морального смысла. Речь идет только о формальных аспектах понятий: либо в них утверждается наличие какого-то признака или признаков, либо – отрицается. Например, понятие «пустой» _ положительное, «непустой» _отрицательное, «плохой» _положительное, «неплохой» _отрицательное. Отрицательные понятия, как правило, создаются на основе положительных, путём простого добавления к последним частицы «не» – «дом», «не дом», «спелый», «не спелый» и т.д.
7. Соотносительными являются понятия, установление содержания которых требует обязательного соотнесения с другими понятиями, например, «мать», «ответчик», «больше», «хуже». Такие понятия часто рассматриваются парами – «возможность» и «действительность», «часть» и «целое», и даже более чем парами: «единичное», «частное» и «общее».
Безотносительнымиявляются понятия, которые могут мыслиться сами по себе, без обязательного соотнесения с другими понятиями. К ним относятся все понятия, кроме соотносительных.
Таковы основные виды понятий, разграничение которых устанавливается логической теорией.
3.2. Вместе с тем понятия не только делятся на виды, но и, согласно логической теории, находятся в определенных отношенияхдруг с другом. Эти отношения выявляются путём сопоставления двух или более понятий по их основным структурным компонентам – объему и содержанию. В самом общем виде, говоря об отношениях между понятиями, их можно разделить на две группы, полностью исчерпывающие объем понятия «отношения между понятиями» в его логическом понимании.
Первая из них - это отношения несравнимости. В них находятся понятия (пары, тройки и т.д.), в содержании которых нет общих признаков, или если даже они есть, то относятся к второстепенным и незначительным. Например, «прямоугольник» и « цвет», «государство» и «стоимость», «величина» и «северное сияние». Об этих отношениях в логическом плане больше сказать нечего, и в дальнейшем мы их рассматривать не будем.
Вторую группу составляют отношения сравнимости. В них находятся понятия, в содержании которых имеются общие, т.е. одни и те же, признаки. В свою очередь, понятия сравнимые между собой, могут находиться в отношениях совместимости и не совместимости.
Совместимыми называют понятия, объёмы которых включают одни и те же объекты, иначе говоря, совпадают – полностью или частично. В содержании таких понятий имеются общие признаки, но нет взаимоисключающих, таких как «белый» и «чёрный», «высокий» и «невысокий» и т.п.
Несовместимымиявляются понятия, объемы которых не могут «соприкасаться» друг с другом, они охватывают совершенно разные множества объектов. Содержание этих понятий в своём составе помимо общих имеет и взаимоисключающие признаки. Последние являются логически взаимосвязанными, поскольку они некоторым образом, можно сказать, воздействуют друг на друга, что позволяет, зная об одних, переходить (формальным путём) к рассмотрению других. Наличие таких признаков накладывает свой отпечаток, естественно, и на характер отношений между соответствующими понятиями, но, несмотря на это, они остаются логически сравнимыми.
Отношения совместимости между понятиями бывают трех видов: тождества, подчинения и частичного совпадения.
В отношении тождества находятся два или более понятий, объёмы которых составляет одно и то же множество объектов, иначе говоря, объёмы таких понятий совпадают. Такого рода понятия в логике называют тождественными, а также равнозначными или равнообъемными. Примерами их могут служить понятия «квадрат» и «ромб с углами 90 градусов», автор романа «Мастер и Маргарита» и автор повести «Собачье сердце», «административный центр Киевской области», «столица Украины» и «город Киев». Как видно из этих примеров, хотя объёмы тождественных понятий совпадают, по содержанию они отличаются, так как фиксируют в качестве существенных признаков разные свойства одного и того же объекта или объектов.
В отношении подчинения находятся два понятия, одно из которых своим объемом полностью входит в объем другого понятия, но никогда при этом не исчерпывает его полностью. Понятие с большим объемом при этом называется подчиняющим, а с меньшим – подчиняющимся. В логике такие отношения, в тех случаях, когда оба понятия – общие, называют также отношениями рода и вида. Подчиняющее понятие относится к роду, является в рамках данного отношения родовым, а подчиняющееся понятие - видовым. В отношении логического подчинения могут быть не только два понятия, но и большее их число. В отношении же рода и вида могут быть только два понятия. Примерами понятий, находящихся в отношении подчинения, или рода и вида, могут служить понятия «металл» и «железо», «книга» и «раскрытая книга», «населенный пункт» и «город»
В отношении частичного совпадения находятся понятия, объемы которых содержат общие элементы, но при этом число таких элементов никогда не бывает полным, в противном случае это были бы отношения тождества или подчинения. Так, понятия «шариковая ручка» и «пластмассовое изделие» имеют область объема, общую для них обоих, но они при этом и не тождественны, и не подчиняются одно другому. Ручки, сделанные из пластмассы, входят в объем понятия «пластмассовое изделие», а остальные – нет. В тоже время пластмассовые изделия – это не только ручки, но и множество других предметов, которые не имеют отношения к понятию «шариковая ручка». В отношении частичного совпадения, или, как его ещё называют в логике, пересечения, а также – перекрещивания, могут находиться не только два понятия, но и больше двух. Например, понятия «экономист», «педагог», «спортсмен», «филателист», «писатель» пересекаются между собой и имеют общую для всех пяти область объема. В тоже время на этом примере хорошо видно, что, несмотря на то, что объёмы этих понятий имеют общие элементы, содержание у них различное. Каждое из них воспроизводит одни и те же для всех объекты под собственным углом зрения, выделяя в качестве существенных особые признаки.
Отношения между несовместимыми понятиями также бывают трёх видов: противоречие (контрадикторность), противоположность (контр арность) и соподчинение(координация)
В отношении противоречия находятся два (и только два) понятия, из которых одно содержит определённые признаки, а другое – эти же признаки отрицает, не замещая их при этом никакими другими. Подобные пары понятий называются противоречащими. Например, «дом» и «не дом», «полночь» и «не полночь», «хороший» и «нехороший». Эти примеры показывают также, что отношения противоречия – это к тому же всегда отношения между положительным и отрицательным понятиями.
В отношении противоположности находятся два понятия, одно из которых содержит определенные признаки, а второе не просто их исключает, но одновременно замещает другими, несовместимыми с первыми. Такого рода пары понятий называются в логике противоположными. Примерами в этом случае могут служить пары понятий «дерево» и «куст», «черный» и «белый».
В отношении соподчинения находятся понятия, имеющие совершенно разные объемы, но одновременно подчиняющиеся другому, более общему для них понятию. В этом отношении могут находиться не только два, но и большее число понятий. Например, понятия «красное яблоко» и «зеленое яблоко» подчиняются одному родовому для каждого из них понятию «яблоко», а понятия «яблоко», «груша», «слива», «абрикос» и т.д. соподчинены понятию «фрукт». Понятие, находящиеся в подобных отношениях, называются соподчиненными.
Между этими тремя последними видами отношений существуют определенные зависимости. Так, понятия, находящиеся в отношениях противоречия и противоположности, если для них (по парам) будет найдено общее родовое понятие, становятся соподчиненными. Однако при этом понятия, находящиеся в отношении противоречия, полностью исчерпывают объём того понятия, в которое они совместно входят, а с противоположными
понятиями этого не происходит. В этом состоит существенное отличие логических свойств противоречащих и противоположных понятий.
3.3. Отношения между понятиями можно изобразить с помощью кругов. Этот способ широко применял выдающийся швейцарский ученый Леонард Эйлер (1707-1783), в связи с чем в логике утвердилось название «круги Эйлера».
Круг, или окружность, в этом случае выражает объем некоторого понятия. Можно говорить, что каждая точка внутри окружности обозначает условно один элемент объема. Соотношения окружностей по величине соответствуют соотношениям «по величине» объемов понятий, находящихся в определенных отношениях друг с другом. Буквы «А», «В», «С» здесь обозначают отдельные понятия, отношения между которыми рассматриваются.
С помощью кругов можно изобразить, естественно, только группу сравнимых отношений между понятиями, которые, в свою очередь, подразделяются на совместимые и несовместимые отношения.
I.Совместимые отношения между понятиями:
а) тождество
Объемы понятий А и В полностью совпадают: каждый элемент объема понятия А является в тоже время элементом объема понятия В и наоборот.
б) подчинение (отношение рода и вида)
Объем понятия В (видовое понятие) полностью входит в объем понятия А (родовое понятие), но не исчерпывает его до конца.
в) частичное совпадение (пересечение)
Объемы понятий А и В имеют общую для них область объема (подмножество элементов), но их объемы при этом не тождественны и не подчиняются одно другому. В отношении пересечения могут быть не только два, но и большее число понятий.
ІІ. Несовместимые отношения между понятиями
г) противоречие (контрадикторность)
Два понятия В и не В, одно из которых обязательно является отрицанием другого, полностью исчерпывают объем общего для них родового (подчиняющего) понятия А. При этом они не пересекаются между собой и в их объемах нет общих элементов.
д) противоположность (контрарность)
Объемы понятий В и С полностью входят в объем общего для них родового понятия А, но вместе они не исчерпывают объем понятия А до конца. Объемы понятий В и С не имеют при этом общих для них элементов.
е) соподчинение (координация)
Объемы понятий В и С полностью входят в объем понятия А, выступающего по отношению к каждомуиз них в качестве родового. В отношении соподчинения может быть любое (а не только два) количество
понятий.
С помощью такого рода кругов можно изображать также и отношения, свойственные другим формам мысли, прежде всего, естественно, суждениям и умозаключениям.
Для того что бы выполнить упражнения, в которых предлагается посредством кругов выразить отношения между конкретными понятиями, необходимо вначале определить вид отношений, существующих между ними, а затем дать их графическое изображение. Обычно в таких упражнениях приводится несколько (более двух) понятий, имеющих между собой разные виды отношений. В этом случае их следует рассмотреть парами, тройками и т.д., в зависимости от одного объединяющего их вида логических отношений, а затем выразить эти отношения графически. Однако ответ, несомненно, выиграет, если все предложенные в задании понятия и отношения между ними будут отображены в одном рисунке.
План.
4.1. Определение и структура операции.
4.2. Логические операции с одним понятием.
4.3. Логические операции с двумя и большим числом понятий.
4.1. Под операцией вообще принято понимать любое преобразование, осуществляемое за счет сознательных человеческих действий или, по меньшей мере, организуемое ими. Структура всякой операции включает следующие обязательные элементы:
1) объект, подлежащий преобразованию;
2) результат преобразования;
3) действие или последовательность действий, совершаемых с объектом преобразования.
Описание любой операции должно включать указание и характеристику каждого из этих компонентов.
В свою очередь операция с понятием – есть всегда логическое преобразование, объектом которого выступает одно или более понятий, а результатом – также понятие или несколько понятий. Для удобства рассмотрения все логические операции с понятиями мы разобьём на две группы: а) операции с одним понятием, и б) операции с двумя и большим числом понятий.
4.2.Операции с одним понятием.
Обобщение понятия. Эта операция заключается в преобразовании исходного понятия (объекта логической операции) в другое понятие с большим объемом и выступающего по отношению к исходному в качестве родового. Производится это за счет сокращения содержательной компоненты исходного понятия, иначе говоря, за счет отбрасывания одного или большего числа признаков, входящих в состав содержания объекта данной операции.
Для примера возьмем понятие «студент». Его обобщением может быть понятие «молодой человек», поскольку студент – это молодой человек, который учится в вузе. Отбрасываем признак, выражаемый словами «учится в вузе», и получаем произвольное понятие «молодой человек», которое больше по объему понятия «студент» и в логическом смысле подчиняет его себе. В свою очередь, понятие «молодой человек» также может быть подвержено обобщению, при этом получится понятие «человек» и т.д. Когда будет достигнуто предельно общее понятие, не подлежащее дальнейшему обобщению, наступает предел возможности ее осуществления.
Ограничение понятия представляет собой логическую операцию противоположную обобщению. Она совершается путём перехода от понятия с большим объемом к понятию с меньшим объемом. Между исходным понятием и новым понятием, полученным в результате преобразования, при этом должно быть отношение логического подчинения, или иначе – родовидовое отношение. Ограничению подлежат только общие понятия. Возьмем предыдущий пример: понятие «молодой человек». Его ограничением может быть понятие «студент», ограничением последнего – понятие «студент ОНПУ» и т.д. Когда ограничение достигает понятия, объём которого равен единице, эта операция далее совершаться не может. Уменьшение объема исходного понятия в этой операции осуществляется за счет изменений в содержательном компоненте понятия: в его состав добавляются один или более новых признаков.
Отрицание – логическая операция, за счет которой исходное понятие преобразуется в другое понятие, противоположное ему по качеству, а именно, положительное понятие становится отрицательным, а отрицательное – положительным. Например, улица – не улица, свежий – несвежий, небольшой – большой. Эта операция осуществляется простым прибавлением к исходному понятию – положительному или отрицательному – частицы «не». Две частицы «не», стоящие рядом, нейтрализуют одна другую. Например, возьмем понятие «не молодой человек» – отрицаем его, получается в итоге « не не молодой человек», что с точки зрения логики эквивалентно понятию «молодой человек».
Деление– логическая операция, посредством которой множество объектов (явлений, процессов и т.п.), составляющих объем исходного понятия, подразделяется на непересекающиеся подмножества. В результате этого из одного исходного понятия получается несколько (два или более) новых понятий, объемы которых и образуют указанные выше подмножества. Разбиение объема исходного понятия при этом делается не произвольно (как угодно), а на определенном основании. Совершая логическое деление это основание непременно нужно указать, сделать его, что называется, явным, известным.
В качестве основания деления может выступать любой из признаков, входящих в состав содержания делимого понятия. Но для того, чтобы деление могло быть осуществлено, этот признак должен варьироваться, иначе говоря.. каким-то образом меняться от объекта к объекту. Возьмем понятие «дом». Объем этого понятия составляют все дома, которые существуют, существовали раньше или только будут когда-либо существовать в действительности. Мы можем поделить этот объем по признаку, например, величины. Получится: дома большие, маленькие, средние. Из одного исходного понятия «дом» получилось три: «маленький дом», «большой дом» и «средний дом». Основание деления и данном случае – это величина или размер дома. Применительно к понятию «дом», такими основаниями могут быть также: материал, из которого дома сделаны («кирпичный дом», «бетонный дом», «деревянный дом» и т.д.), стоимость его, форма собственности частные дома , коммунальные) и др. Операция деление понятия лежит в основе очень важной и широко распространенной познавательной процедуры – классификации.
С точки зрения логики операция деления выполнена правильно, или, как еще говорят, корректно, если при этом соблюдены следующие три условия (требования):
1. Соразмерность деления. Это означает, что объемы всех полученных в результате операции деления понятий должны быть вместе точно равны объему исходного понятия;
2. Деление должно проводиться по одномуоснованию;
3. Основание деления должно быть осознанным, ясно выделяемым, строго определенным и понятным.
Особой разновидностью логической операции деления является дихотомия, или дихотомическое деление. Последнее известно еще с древнейших времен и играет значительную роль в различного рода доказательных рассуждениях (доказательствах), в особенности математических. Дихотомия означает разбиение объема исходного понятия всего лишь на два подмножества, причем таким образом, чтобы этот объем исчерпывался полностью, а полученные в результате деления понятия не пересекались бы между собой. Имеется очень простой прием, позволяющий осуществить дихотомию без ошибок, логически правильно. Для этого в качестве основания соответствующего деления необходимо использовать два понятия, находящихся в отношении логического противоречия, например, дом – не дом, тяжелый – не тяжелый, мой – не мой и т.д.
В этом случае объем исходного понятия идеально распадется на два непересекающихся подмножества, полностью исчерпывающих объем делимого, и чтобы это установить не требуется никаких дополнительных действий. Так, например, понятие «здание» можно поделить на «жилые здания» и «нежилые здания», а можно и по другому основанию – скажем, здания одноэтажные и не одноэтажные, новые и не новые и т.п.
Операция деления во всех случаях может совершаться только с общими понятиями.
4.3. Логических операций, объектами которых выступают два или более понятий, известно три: сложение, вычитание и умножение. Изучая эти операции, необходимо при этом отдавать себе отчет в том, что слова (или термины), их обозначающие: «сложение», «вычитание», «умножение», а также «деление», всем нам хорошо известны из арифметики. Но в логике они употребляются в совершенно ином, особом, смысле, и логический смысл, стоящий за уже знакомыми нам словами, следует четко отличать от математического или какого-либо другого.
Сложение – логическая операция, в результате которой объемы двух или более исходных понятий объединяются (складываются). В итоге появляется одно понятие, объем которого охватывает объемы исходных понятий. Но операция такого объединения не является чисто количественной, в ходе которой складываются абстрактные множества. Отличие в объединении объема понятий состоит в том, что если один и тот же объект одновременно входит в объемы нескольких понятий, то при сложении он учитывается только один раз. Так, при сложении тождественных понятий объем итогового понятия остается тем же, т.е. он остается равен объему одного из слагаемых. Если исходные понятия пересекаются, то объем нового понятия будет по количеству меньше простой суммы объемов этих понятий. Например, в результате сложения понятий «школьник» и «человек, умеющий рисовать» получится новое понятие, для которого еще нет в языке устоявшегося терминологического обозначения, но которое мы тем не менее вполне способны мыслить. Объем этого нового понятия составляют все школьники и все люди, умеющие рисовать. Сюда должны входить: а) школьники, не умеющие рисовать, б) школьники, умеющие рисовать, и в) люди не школьники, но умеющие рисовать.
При сложении понятий, находящихся в отношении подчинения, объем итогового понятия будет равен объему родового понятия, по сути, новое понятие будет тождественно одному из слагаемых понятий, тому, которое больше по объему. Если же объемы слагаемых понятий не тождественны, не находятся в отношении подчинения и не пересекаются, то объем нового понятия должен включать все элементы, входящие в объемы исходных понятий, и в этом случае он равен количественной их сумме. Например, складываем понятия «шариковая ручка», «наливная ручка», «карандаш», «фломастер» – получаем «письменная принадлежность».
Вычитание – логическая операция, совершаемая с двумя понятиями, в результате которой из объема одного понятия исключаются элементы, входящие в объем другого понятия. Например, возьмем понятие «транспортное средство» вычтем из него объем понятия «автомобиль» получим «любое транспортное средство, кроме автомобиля».
Новое понятие всегда имеет меньший объем по сравнению с тем, из которого производится вычитание. Эту операцию можно проводить только с понятиями, находящимися в отношениях подчинения (при этом вычитание производится из родового, т.е. большего по объему, понятия) и пересечения.
Умножение– логическая операция, смысл которой состоит в том, чтобы выделить те элементы, которые одновременно входят в объемы двух или более исходных понятий. Такие элементы, общие всем объемам, и составляют объем нового понятия, полученного (можно даже сказать, построенного, сконструированного) в результате данной операции. Умножение так же, как и в предыдущем случае, может производиться только с понятиями, находящимися в отношениях подчинения или пересечения. Формально ее можно проводить также и с тождественными понятиями (но это то же самое, что в математике складывать нули). Пример, умножаем понятие «мужчина», «спортсмен», «художник», «музыкант» получим – «мужчина, являющийся спортсменом, художником и музыкантом». При умножении объем получаемого в итоге понятия, как правило, меньшеобъема любого из исходных понятий, но никогда не может быть больше объема ни одного из них.
