Исследование функций с помощью производной
Теорема 1 (критерий возрастания дифференцируемой на интервале функции) Для того, чтобы дифференцируемая на интервале 
функция 
была возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы 
.
Доказательство.
Необходимость. Возьмем 
. Так как возрастает на , то 
, 
Отсюда следует, что в любом случае 
. Тогда и 
. Достаточность следует из теоремы Лагранжа. ■
Теорема 2 (критерий убывания дифференцируемой на интервале функции) Для того, чтобы дифференцируемая на интервале функция была убывающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы 
.
Теорема 3 (достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции) Если 
, то строго возрастает на интервале . Если 
, то строго убывает на интервале .
Доказательство. По теореме Лагранжа,
.
Что и требовалось доказать. ■
Теорема 4 Если непрерывна на отрезке 
, дифферен-цируема на интервале и для , то строго возрастает на .
