Формулы Маклорена для некоторых элементарных функций
Формула Тейлора
О. Пусть 
имеет в точке 
производные до k-го порядка, тогда многочлен 
называется многочленом Тейлора п-го порядка для функции в точке .
Теорема 1 Пусть 
, такое, что имеет в 
-окрестности точки производные до 
-го порядка включительно. Тогда 
, такая, что 
.
Функцию 
называют остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа.
Теорема 2 Если существует 
, то
при 
.
Последнюю формулу называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Равенство 
при 
называют формулой Маклорена.
с остаточным членом в форме Пеано (т.е.
)
, где 
Теорема 1 Пусть и 
дифференцируемы на интервале 
, 
, 
, 
и существует конечный или бесконечный 
. Тогда 
тоже существует и равен А, т.е. 
.
Доказательство. Пусть 
. Доопределим и в точке а, полагая 
и 
. Тогда получим, что и непрерывны на отрезке 
. По обобщенной формуле Коши конечных приращений, 
такая, что
.
Если 
, то 
. Значит, 
.
Тогда 
.■
Замечание. Утверждение теоремы справедливо и при 
, и при 
, и при 
.
Теорема 2 Пусть 1) и дифференцируемы при 
, причем 
при ;
2) 
, 
;
3) существует конечный 
.
Тогда существует 
.
Замечание. Правило Лопиталя служит для раскрытия неопреде-ленностей вида 
и 
. Иногда к этим неопределенностям удается свести неопределенности 
.
