Теорема Ролля (о нулях производной) Если 
непрерывна на отрезке 
, принимает в концах этого отрезка равные значения 
и дифференцируема на интервале 
, то существует точка 
, в которой 
.
Геометрический смысл теоремы Ролля: при условиях теоремы Ролля существует точка , в которой касательная к графику функции 
параллельна оси Ох.
6.4 Формула Лагранжа конечных приращений.
Теорема Лагранжа Если непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , то существует такая точка , что 
.
Доказательство. Введем функцию
.
.
удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Значит,
, т.е. 
.■
Геометрический смысл теоремы Лагранжа:
, в которой касательная к графику функции параллельна секущей, соединяющей точки 
и 
.
Пример Доказать, что 
.
Решение. Пусть 
. Применим теорему Лагранжа к этой функции на отрезке 
. Получим, что для некоторой точки 
выполняется 
.
Аналогично доказывается, что 
.
Следствия 1)Если функция дифференцируема на интервале и 
, то 
на 
.
2) Если 
на , то не убывает на .
Если 
на , то не возрастает на .
3) Если две непрерывные функции имеют одинаковые производные, то они отличаются на 
, т.е. 
.
Теорема(обобщенная формула Коши конечных приращений) Если функции и 
непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале , причем 
,
то 
.
