Точки локального экстремума
Основные теоремы для дифференцируемых функций
О. Функция 
имеет в точке 
локальный максимум, если существует такая окрестность 
точки , что
.
О. – точка строгого локального максимума, если
.
О. Функция имеет в точке локальный минимум, если существует такая окрестность точки , что
.
О. – точка строгого локального максимума, если
.
Локальный максимум и локальный минимум объединяются названием локальный экстремум.
Теорема Ферма Если имеет в точке локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то 
.
Доказательство. Пусть имеет в точке локальный минимум. Это значит, что в некоторой окрестности точки 
.
Тогда если 
, то 
, если 
, то 
. Перейдем к пределу при 
. Получим
.
Так как дифференцируема в точке , то 
. Из последних неравенств следует, что 
, и в то же время 
. Значит, . ■
Геометрический смысл теоремы Ферма: касательная к графику функции в точке локального экстремума параллельна оси Ох.
