Пусть 
имеет производную во всех точках интервала 
. Если функция 
имеет производную в точке 
, то её называют второй производной или производной II порядка функции . Обозначается 
или 
. И т.д.
.
Физический смысл . Пусть материальная отточка движется по закону 
. Тогда скорость 
. Отношение 
– это ускорение точки на промежутке времени 
. Предел этого ускорения равен 
– это ускорение в момент
.
Если функция задана параметрически: 
, то
.
Итак, 
. Аналогично получается 
.
Пример Найти 
и 
, если 
, 
.
Решение. 
. Тогда 
.
.
Рассмотрим пример неявно заданной функции.
Пример Найти 
и 
, если 
.
Решение. Продифференцируем обе части данного равенства по x, учитывая, что 
есть функция от x, получим:
.
Выразив отсюда , получим 
.
Продифференцируем обе части последнего равенства по x, учитывая, что есть функция от x, получим:
.
Теорема (формула Лейбница) Если U и V имеют в точке x производные n-го порядка, то 
тоже имеет производную n-го порядка, причём 
, где
, 
. То есть
.
Дифференциалы высших порядков:
.
