Пусть функции 
определена в некоторой окрестности точки 
.
О. Функция называется дифференцируемой в точке , если её приращение в точке представимо в виде:
,
где А – постоянная, не зависящая от 
(но зависящая от ), а функция 
при 
.
Слагаемое 
называется дифференциалом функции в точке и обозначается 
или 
. Дифференциал – это главное линейная часть приращения функции. Тогда 
, .
Теорема Функция дифференцируема в точке тогда, и только тогда, когда она имеет производную в точке . При этом
.
Доказательство.
Необходимость. Если дифференцируема в точке , то приращение функции в точке представимо в виде:
.
Отсюда 
, где при .
Следовательно, при существует 
и 
.
Достаточность. Если , то 
.
Следовательно, 
.■
Обычно обозначают 
и пишут 
.
Механический смысл дифференциала: 
, т.е. дифференциал равен расстоянию, которое прошла бы материальная точка за промежуток времени 
, если бы она двигалась со скоростью 
.
