Производная функции в точке

5.1 Определение. Физический и геометрический смысл производной

Пусть – путь, пройденный материальной точкой за время t. Тогда средняя скорость материальной точки за промежуток есть величина, равная .

Тогда мгновенная скорость движения материальной точки в момент времени .

Обозначим – приращение аргумента х,

– приращение функции , соответ-ствующее приращению .

О. Производной функции в точке называется число (если оно существует), равное пределу отношения приращения функции в точке к приращению аргумента при условии, что и обозначается , т. е. .

Механический смысл производной. Если х – время, – путь, пройденный материальной точкой за время х, то – это скорость движения в момент времени или –мгновенная скорость изменения функции в момент времени .

Геометрический смысл производной. – это тангенс угла наклона секущей, проходящей через точки с координатами и .

При – тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке .

Если уравнение касательной, то .

Уравнение касательной: .

Примеры 1) .

, т. е. производная постоянной функции равна 0.

2) . Покажем, что . Действительно,

.

3) .

т. е. .

Теорема Если имеет производную в точке , то непрерывна в точке .

Доказательство. Из равенства следует, что

при . Отсюда при .

Значит, при .■

Замечание. Если разрывна в точке , то она не имеет производной в точке .

По аналогии с односторонними пределами вводятся понятия односторонних производных:

, – правосторонняя и левосторонняя производные функции в точке .

Пример . Найти односторонние производные.

Решение. ,

.

Так как односторонние производные не равны, то не имеет производной в точке .