Свойства функций, непрерывных на отрезке (глобальные свойства непрерывных функций)

О. Функцию называют непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке интервала , и, кроме того, непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке b.

1. Ограниченность непрерывной на отрезке функции.

Теорема 1 (Вейерштрасса) Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на нём, т. е. .

Доказательство. Допустим противное, т. е.

. (1)

Полагая в (1) , получим, что

. (2)

Последовательность ограничена, т. к. .

По теореме Больцано-Вейерштрасса, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность, т. е. и , такие, что .

Так как непрерывна на отрезке , то – конечная величина. С другой стороны, из (2) следует, что , откуда следует, что . Противоречие. ■

Замечание. Теорема неверна на промежутках, не являющихся отрезками. Например, непрерывна на , но не ограничена на нём; функция непрерывна на R, но не ограничена на R.

2. Достижение точных граней.

Теорема 2 (Вейерштрасса) Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает своих точной верхней и точной нижней граней, т.е.

и

3. Промежуточные значения непрерывной функции.

Теорема (Коши о нулях непрерывной функции)Если функция непрерывна на отрезке и принимает в его концах значения разных знаков, то существует точка такая, что .

Замечание. Теорема Коши о нулях непрерывной функции утверждает, что график непрерывной функции, принимающеё на концах отрезка значения разных знаков, пересекает ось Ox хотя бы в одной точке отрезка .

Теорема (Коши о промежуточных значениях)Если функция непрерывна на отрезке и , то для найдется такая точка , что .

Доказательство. Если или , то утверждение теоремы очевидно.

Рассмотрим случай . Введем функцию . Тогда , . По теореме Коши о нулях непрерывной функции, найдется такая точка , что . Значит, .■

Следствие Если функция непрерывна на отрезке , , , то множество значений, принимаю-щих функцией на отрезке , есть отрезок .

4. Существование и непрерывность функции, обратной к непрерывной.

Теорема Если функция непрерывна и строго возрастает на отрезке , то на отрезке определена функция , обратная к , непрерывная и строго возрастающая.

Доказательство. Докажем существование обратной функции.

Обозначим . Так как возрастает, то , где , . Значит, по следствию из теоремы Коши о промежуточных значениях, множество значений .

Согласно определению обратной функции, нужно доказать, что для уравнение имеет единственный корень . Существование корня следует из теоремы о промежуточных значениях. Докажем, что этот корень – единственный. Допустим, . Так как функция строго возрастает, то . Противоречие.

Значит, на отрезке определена обратная функция .■

Примеры 1) Так как функция непрерывна и возрастает на , то на определена обратная функция , которая непрерывна на и строго возрастает.

2) функция строго возрастает и непрерывна на . Значит, на R определена, возрастает и непрерывна обратная функция .