Если 
непрерывна в точке а, то она ограничена в некоторой окрестности точки а, т. е. 
и 
.
Если непрерывна в точке а, причем 
, то существует такая окрестность точки а, в которой знак функции совпадает со знаком числа 
.
Если и 
непрерывны в точке а, то функции 
, 
, 
(при условии, что 
) непрерывны в точке а.
Теорема (непрерывность сложной функции) Если функция 
непрерывна в точке 
, функция 
непрерывна в точке 
, то в некоторой окрестности точки определена сложная функция 
, которая непрерывна в точке .
Доказательство. Возьмем 
. Так как f непрерывна в точке 
, то 
.
Так как 
непрерывна в точке , то для найденной окрестности 
.
Значит, существует окрестность 
, на которой определена сложная функция и 
, где
.
Итак, 
.■
