Определение
О. Функция 
называется непрерывной в точке а, если она определена в некоторой окрестности этой точки и 
.
То есть непрерывна в точке а, если: 1) определена в некоторой 
; 2) 
; 3) .
На языке 
это определение можно записать в виде:
или
.
О. Функция называется непрерывной слева в точке а, если она определена на 
и 
.
О. Функция называется непрерывной справа в точке а, если она определена на 
и 
.
Примеры 1) 
непрерывна 
. Действительно, 
, если взять 
. То есть
.
Следовательно, 
.
2) 
непрерывна 
и непрерывна справа в точке 
. Действительно,
при 
, если 
.
При 
, если 
.
Итак, 
.
О. Точка а называется точкой разрыва функции , если в этой точке функция не является непрерывной.
Т.е. а − точка разрыва функции , если выполняется одно из условий: 1) не определена в точке а; 2) не существует
;
3) 
.
О. Пусть точка а − точка разрыва функции . Если в этой точке существуют конечные пределы слева и справа, но они не равны, то точка а называется точкой разрыва I рода функции .
О. Если 
, то точка а называется устранимой точкой разрыва функции .
О. Если в точке а хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен, то точка а – точка разрыва II рода функции .
Примеры 1) 
точка разрыва I рода;
2) 
–устранимая точка разрыва, т.к. 
, по теореме о произведении б.м. функции на ограниченную;
3) 
– точка разрыва II рода, т.к. 
;
4) 
– точка разрыва II рода, т.к. 
не существует.
