Сравнение асимптотического поведения функций

Второй замечательный предел

Первый замечательный предел

Теорема .

Доказательство. Покажем сначала, что при . Так как все функции, входящие в неравенство, чётные, то рассмотрим случай .

Очевидно, площадь криволинейного сектора OCD меньше площади треугольника OAB, а она меньше площади криволинейного сектора OAB. Воспользуемся формулой площади криволинейного сектора: (r − радиус, х – центральный угол). Тогда

.

Разделим все части последнего неравенства на х и умножим на два, получим . Переходя к пределу при во всех час-тях последнего неравенства, получим, что и требовалось доказать.■

Сделав в последнем пределе замену , получим

.

Утверждение Если и , то

.

Пример 1 .

Пример 2 .

В последнем примере при получим .

а) Эквивалентные функции.

О. Если в некоторой проколотой окрестности точки функция представима в виде , причем , то функции и называют эквивалентными при и пишут

при .

Утверждение Если и в некоторой , то

при тогда, и только тогда, когда .

Например, при , так как ; , так как .

Таблица эквивалентных функций при

Теорема Если и при , то

.

б) Понятие бесконечно малой функции по сравнению с другой.

О. Если в некоторой проколотой окрестности точки функция представима в виде , причем , то функцию называют бесконечно малой по сравнению с при и пишут , .

Утверждение Если в некоторой , то при тогда, и только тогда, когда .

Пример 1) при ; 2) при .

Если и − обе бесконечно малые при , то говорят, что есть бесконечно малая более высокого порядка, чем при .

Некоторые важные свойства символа .

Докажем, например, что . Действительно, , так как если и бесконечно малые, то тоже бесконечно малая ■

4 Непрерывные функции