Различные типы пределов
Определение предела по Гейне
О. Число А называется пределом функции 
в точке a, если для любой последовательности 
, сходящейся к точке a, и такой, что 
, следует, что последовательность соответствующих значений функции 
сходится к числу А.
Т.е. 
и 
при 
.
Пример 
не существует.
Решение. Для доказательства достаточно указать две последова-тельности, сходящиеся к нулю, такие, что соответствующие значения функции стремятся к различным числам.
Возьмем 
при .
Но 
.
Теорема Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
а) Односторонние пределы.
О. Число 
называется пределом слева функции в точке a и обозначается 
, если
.
Аналогично 
означает, что
.
Пределы слева и справа называются односторонними.
Обозначаются также 
и 
.
б) Бесконечные пределы в конечной точке.
, если 
.
Например, 
.
в) Предел в бесконечности.
, если 
.
Например, 
.
Свойство1 Если имеет предел в точке a, то существует такая проколотая окрестность точки a, в которой эта функция ограничена.
Доказательство. Пусть . Тогда для 
, т. е. 
.■
Свойство2 Если и 
, то существует такая проколотая окрестность точки a, в которой имеет тот же знак, что и число А.
Доказательство. Рассмотрим 
. Тогда
для 
, т. е.
.
Значит, 
.■
Свойства, связанные с арифметическими операциями
Если 
и 
, то
1) 
;
2) 
;
3) 
, при условии, что 
.
Частный случай второй формулы: 
, 
– постоянная.
Свойства, связанные с неравенствами
1) Если 
и
, то .
2) Если 
, то 
.
3) Если 
, то 
.
