Подпоследовательности. Частичные пределы

Пусть задана последовательность .

О. Рассмотрим строго возрастающую последовательность натуральных чисел . Тогда последовательность называют подпоследовательностью последовательности .

О. Если существует предел подпоследовательности , то он называется частичным пределом.

О. Если обозначить – множество всех частичных пределов, то называется верхним пределом и обозначается , называется нижним пределом и обозначается .

Если не ограничена сверху, то . Если не ограничена снизу, то .

Утверждение 1 Если последовательность имеет предел, то любая её подпоследовательность сходится к тому же пределу. (Доказать)

Теорема (Больцано-Вейерштрасса) Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследо ва-тельность.

Доказательство. Так как ограничена, то существует отрезок , такой, что .

Разобьём пополам точкой d. Один из отрезков содержит бесконечно много членов последовательности (доказывается от противного). Возьмём его и тоже разобьём пополам. Один из полученных отрезков содержит бесконечно много членов последовательности. И т. д. Получим последовательность вложенных отрезков, длину которых можно сделать меньше любого .

По теореме Кантора, существует единственная точка .

Покажем, что существует подпоследовательность , которая сходится к числу с.

Возьмём . Найдём номер (он существует, так как содержит бесконечно много членов). И так далее.

Так как длина стремится к нулю, а и , то . Значит, сходится к с.■

Утверждение 2 Любая неограниченная последовательность имеет подпоследовательность, сходящуюся к . (Доказать)

Утверждение 3 Число а является частичным пределом тогда, и только тогда, когда в любой окрестности точки а содержится бесконечно много членов последовательности. (Доказать)