Бесконечно большие последовательности
О. Последовательность называется бесконечно большой, если
.
Пишут 
.
Пусть 
, 
,
.
Тогда 
.
.
.
Утверждение 1) любая бесконечно большая последователь-ность является неограниченной (но не любая неограниченная последовательность является б.б. Например, 
);
2) последовательность 
является бесконечно большой тогда, и только тогда, когда последовательность 
является бесконечно малой.
Утверждение 
.
Доказательство. Оба утверждения равносильны тому, что
.■
Теорема Если , 
, то
1) 
;
2) 
;
3) если 
и 
, то 
.
Доказательство.
1) Так как , то
.
Так как , то 
.
Тогда 
.
2) Надо доказать, что 
.
Рассмотрим 
.
Так как сходится, то она ограничена, т. е.
: 
.
Если и , то
.
Так как , то 
.
Тогда 
.
Если 
(т.е. 
бесконечно малая), сходится (следовательно, является ограниченной), то 
тоже бесконечно малая, и в этом случае утверждение тоже верно.
3) без доказательства. ■
