Аксиоматика действительных чисел

Логическая символика и терминология

Для сокращения записей будем использовать логические символы:

– принадлежит,

– содержится,

– любой, для любого, каждый, для всех и т. п.,

– существует, найдется,

: или | – заменяет слова «такой, что…»,

! ­– единственный,

– знак следования (в записи условие А называется достаточным для В, условие В называется необходимым для А),

– знак равносильности (означает, что и при этом ),

■ – знак окончания доказательства.

В любой математической теории есть некоторое количество исходных понятий, которые нельзя определить через другие понятия. С помощью исходных понятий формируются несколько высказываний, которым приписываются значения истины. Их называют аксиомами. Приведем аксиомы действительных чисел.

I. Аксиомы сложения.

Каждой паре действительных чисел и сопоставляется число , называемое суммой, таким образом, что

1.1 (ассоциатив-ность);

1.2 элемент : (существование нейтрального элемента);

1.3 : (существование противоположного элемента, этот элемент обозначается );

1.4 (коммутативность).

II. Аксиомы умножения.

Каждой паре действительных чисел и сопоставляется число , называемое произведением, таким образом, что

2.1 ;

2.2 : ;

2.3 : (существование обратного элемента);

2.4 .

III. Аксиомы порядка.

Во множестве R установлено соотношение, называемое отношением порядка и обозначаемое , таким образом, что

3.1 ;

3.2 или ;

3.3 и (транзитивность);

3.4 и (антисимметричность).

IV. Аксиомы связи.

4.1 (дистрибутивность);

4.2 ;

4.3 и .

V. Аксиома полноты (непрерывности).

Если X и Y – два непустых множества, таких, что и , то : .

О. Разностью чисел и называется такое число х, что .

О. Частным чисел и называется такое число х, что .