Точные грани числовых множеств

Пусть .

О. Множество Х называется ограниченным сверху, если

: .

Число с называется верхней гранью множества Х.

О. Множество Х называется ограниченным снизу, если

: .

Число называется нижней гранью множества Х.

О. Множество Х называется ограниченным, если оно ограничено и сверху, и снизу, т.е. : .

Утверждение Множество Х ограничено тогда, и только тогда, когда : .

О. Максимальным элементом множества Х называется такое число а, что : .

О. Минимальным элементом множества Х называется такое число а, что : .

О. Множество Х называется не ограниченным сверху, если

: : .

О. Множество Х называется не ограниченным снизу, если

: : .

О. Множество Х называется неограниченным, если оно не ограничено сверху или не ограничено снизу.

О. Точная верхняя грань – это наименьшая из всех верхних граней, т.е. (супремум), если

1) ; 2) .

Или .

О. Точная нижняя грань – это наибольшая из всех нижних граней, т.е. (инфинум), если

1) ; 2) .

Или .

Замечание. 1) Множество может не иметь максимального элемента, но иметь точную верхнюю грань. Например, таково множество .

2) Если существует максимальный элемент множества Х, то он совпадает с .

3) Если множество Х не ограничено сверху, то , если Х не ограничено снизу, то .

Теорема о существовании точной верхней грани Если множество Х ограничено сверху, то оно имеет, причем единственную, точную верхнюю грань.

Доказательство. 1) Обозначим Y – множество всех верхних граней множества Х.Тогда , .

По аксиоме полноты, . Из правой части неравенства следует, что . Тогда (как минимум из множества всех верхних граней).

2) Допустим, что существуют числа и , которые являются точными верхними гранями множества Х .

Если – , – верхняя грань, то .

Если – , – верхняя грань, то .

По аксиоме 3.4 порядка, .

Значит, – единственное число. ■