Композиция бинарных отношений.

Понятие функции, или функциональное бинарное отношение.

Бинарное отношение R называется функциональным, если

Очевидно, что если бинарное отношение R функционально, то либо , либо множество содержит единственный элемент.

называется значением а при отображении R.

Согласно словам Давтяна, знаком R(ρ) обозначается область значения функционального бинарного отношения ρ, а D(ρ) обозначает область определения функционального бинарного отношения ρ. но также я встретил другие обозначения:

Im R – область значения R

Dom R – область определения R

Мы понимаем функциональное бинарное отношение как множество упорядоченных пар. Множество первых элементов всех этих пар – это область определения, а множество вторых – область значения.

– двухместный предикат, где а – аргумент функции, а b – значение функции.

Пусть .

Тогда существует бинарное отношение (композиция R и P), которое определяется так:

Исходя из этого определения можно доказать следующее утверждение (его нам предложил доказать Давтян в качестве упражнения). Не знаю, как лучше всего его сформулировать, но я бы использовал такую формулировку: «если имеет смысл, где R, P и Q – бинарные отношения, то »

Доказательство:

Предположим, одна из этих композиций не является пустым множеством (если обе композиции – пустые множества, то они равны). Возможны два случая: «первая композиция – не пустое множество», и «вторая композиция – не пустое множество». Для этих случаев доказательства будут различаться.

Случай 1.

Пусть . Тогда

согласно определению композиции.

согласно определению композиции.

по определению композиции

Пусть . Тогда

Случай 2.

Пусть . Тогда

согласно определению композиции.

согласно определению композиции.

по определению композиции

Пусть . Тогда ,

!!!называется бинарное отношение, такое, что

Бинарное отношение Е называется единичным, если

Очевидно, что , если Е – единичное отношение, а R – любое другое отношение, заданное на том же множестве, что и Е.

На каждом множестве существует множество бинарных отношений, а на множестве этих бинарных отношений существует множество композиций этих отношений.